专题05 圆锥曲线中的定点问题(教师版).docx

专题05 圆锥曲线中的定点问题一、多选题 1．设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A．若，则B．若，直线AB过定点C．若，到直线AB的距离不大于1D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则【答案】ACD【分析】设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.【详解】B.设直线方程为，，，，，将直线方程代入抛物线方程，得，则，，，，．于是直线方程为，该直线过定点．故不正确；C.到直线的距离，即正确；A.．正确；D.由题得,所以，不妨取.所以，所以直线AB的方程为，所以.由题得=.所以.所以D正确.故选：ACD．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.2．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）A．为定值 B．直线过抛物线的焦点C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4【答案】ACD【分析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，设直线，代入可得，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.故选：ACD.【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.二、单选题3．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．且【答案】D【分析】由直线恒过点，将问题转化为点在椭圆上或椭圆内，可得选项.【详解】因为直线恒过点，为使直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆上或椭圆内，所以，即.又，所以且.故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.三、解答题4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点M(2，m)(m＞0)在抛物线上，且|MF|＝2.（1）求抛物线C的方程；（2）若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可得m＋＝2，再由2pm＝4，即可求解.（2）讨论x0＝0或x0≠0，利用导数求出点P处的切线的方程l0，再求出过点F且与切线l0垂直的方程，两方程联立求出交点即可求解.【详解】（1）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋＝2，①又M(2，m)在抛物线上，所以2pm＝4，②由①②解得p＝2，m＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.（2）证明：①当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；②x0≠0，即点P不在原点时，由（1）得，x2＝4y，则y′＝x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y－y0＝x0(x－x0)，又＝4y0，所以y－y0＝x0(x－x0)可化为y＝x0x－y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y－1＝－x.联立方程得消去x，得y＝－(y－1)－y0.(*)因为＝4y0，所以(*)可化为y＝－yy0，即(y0＋1)y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上.综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线方程以及切线的垂线方程，综合性比较强，考查了计算求解能力.5．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.【分析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；（2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点．【详解】（1）由题意得，解得，所以，抛物线的标准方程为.（2）证明：设点、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理得，，由轴以及点在直线上，得，则由、、三点共线，得，整理得，将韦达定理代入上式并整理得，由点的任意性，得，得，所以，直线的方程为，即直线过定点.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由、、三点共线是解第二问的关键，是中档题．6．已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图:（1）若△POM的面积为 ，求向量与的夹角；（2）证明:直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用得到两点的纵坐标之积，根据平面向量的数量积公式可得向量与的数量积，根据三角形的面积公式可求得向量与的夹角；（2）利用和得到的纵坐标的关系式，利用点斜式求出直线的方程，结合的纵坐标的关系式可得直线过定点.【详解】（1）设点，因为三点共线，所以，所以，即，所以， 所以设∠POM=α，则所以，所以，所以又，所以.故向量与向量的夹角为.(2)设点，因为三点共线，，即，即，则，即，又，所以，因为，所以直线的方程是，即，即，由知，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.【点睛】关键点点睛：第二问利用和得到的纵坐标的关系式，并利用此关系式得到直线的方程是解题关键.7．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，（0，2）.【分析】（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.【详解】（1）由题意知，，∴椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以，，所以，＝，因为，所以，，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），故直线为：.所以直线l过定点（0，2）.【点睛】圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.8．已知抛物线经过点（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；（2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值.【答案】（1）；准线；（2）存在，【分析】（1）将点代入抛物线即可求解，再由抛物线的标准方程可得准线.（2）设出直线：，直线：，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出、，从而求出直线，，将两直线联立求出交点，得到点的轨迹是个圆，从而可得定点为圆心.【详解】（1）将点代入抛物线，可得， 解得，所以抛物线方程：，准线.（2）由题意可得直线：，直线：，联立 ，整理可得，设，，则，，所以，同理，，设，：，：，联立 ，解得， ，整理可得，即，所以点的轨迹是个圆，故的坐标为，线段长度为定值.【点睛】关键点点睛：此题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出直线，的交点，得到点的轨迹方程，考查了运算求解能力.9．设、分别是椭圆C：的左、右焦点，，直线过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）椭圆；（2）存在，.【分析】（1）根据得到，计算，，得到，得到椭圆方程.（2）设点和直线，联立方程利用韦达定理得到，，转为为点在椭圆上，带入数据计算得到答案.【详解】（1）由可得，等边三角形中：，， 则，得， 又因为，所以， 则椭圆； （2）设、，则由题意知的斜率为一定不为，故不妨设，代入椭圆的方程中：，整理得， 满足.由韦达定理有：，① 且②假设存在点，使成立，则其充要条件为：点在椭圆上，即.整理得，又在椭圆上，即，，故由①②代入：，解得，验证 则.【点睛】椭圆内的存在性问题，设而不求，利用韦达定理，将题目转化为点在椭圆上是解题的关键，计算量较大，需要平时多训练.10．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）是，.【分析】（1）由题意，列出所满足的等量关系式，结合椭圆中的关系，求得，从而求得椭圆的方程；（2）写出，设，利用斜率坐标公式求得两直线斜率，结合点在椭圆上，得出，从而求得结果；（3）设直线的方程为：，，则，联立方程可得：，结合韦达定理，得到，结合直线的方程，得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）由题意可知，，又，所以，所以椭圆的标准方程为：.（2）,设，因为点在椭圆上，所以，，又，. （3）设直线的方程为：，，则，联立方程可得：，所以，所以 ，又直线的方程为：，令，则，所以直线恒过， 同理，直线恒过， 即直线与交于定点.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合椭圆中的关系，建立方程组求得椭圆方程；（2）根据斜率坐标公式，结合点在椭圆上，整理求得斜率之积，可以当结论来用；（3）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，结合直线方程，求得其过的定点.11．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在定点，使得三点共线．【分析】（1）设，由化简可得结果；（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得，椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，设，根据列式，结合可求出.【详解】（1）设，则，化简得故动点的轨迹方程为．（2）由题知且直线斜率存在，设为，则直线方程为由得设，则，由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上故假设存在定点，使得三点共线。