空间直角坐标系和空间向量典型例题.doc

空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1 已知直四棱柱－1111中，1 ＝ 2，底面是直角梯形，∠A为直角，ABCD AB CDAAABCDAB∥ CD， AB＝ 4， AD＝ 2， DC＝ 1，求异面直线BC1 与 DC所成角的余弦值．解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、 DC、 DD所在直线为x、 y、 z 轴建立空1间直角坐标系，则1（０， 1， 2）、 （ 2， 4，０），CBuuuur， ， ，uuur∴BC1(CD (0， 10)，．23 2)uuuuruuur设 BC 与 CD 所成的角为，1uuuuruuur317则 cosBC1 gCDuuuuruuur．BC1CD17（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2，在三棱柱ABC－ A1 B1C1 中， AB⊥侧面 BB1C1C， E 为棱 CC1 上异于C、 C1 的一点，⊥1．已知AB2，1＝ 2，＝ 1，∠1＝．求二面角－1－ 1的EAEBBBBCBCCAEB A3平面角的正切值．解析：如图2，以B为原点，分别以1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直BB于平面 AB1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．由于 BC＝ 1， BB1＝ 2， AB＝ 2 ，∠ BCC1＝ ，3∴在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，有 B（０，０，０）、A（０，０，2 ）、 B1（０， 2，０）、3，1 ， 、c022333， ，13， ，．设且，C10E2a 02a222uuur uuur由 EA⊥ EB1，得 EAgEB1 0 ，即3 ， a， 2 g3 ，2a，0223a( a 2) a22a30 ，∴a1 g a30 ，4422即1331．a或a（舍去）．故E02，，222uuuruuuruuuuruuur，故二面角A－ EB－ A 的平面角uuuuruuur由已知有 EAEB1 ， B1 A1EB1的大小为向量 B1 A1与 EA 的夹角．11uuuur因 B1A1故 cosuuuruuur3 ，1 ，BA，，2)，EA2(0 022uuur uuuur2g2EA B1A1，即 tanuuuruuuur32EA B1 A1（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3，在四棱锥 V－ ABCD中，底面 ABCD是正方形， 侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．（ 1）证明 AB⊥平面 VAD；（ 2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的余弦值．解析：（ 1）取的中点O为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系．AD设 AD＝ 2，则 A（ 1，０，０）、 D（－ 1，０，０）、 B（ 1， 2，０）、 V（０，０，3 ），uuuruur3 ）．∴ AB ＝（０，2，０），VA ＝（ 1，０，－uuur uur由 ABgVA (0，2，0)g(10，， 3) 0 ，得AB⊥ VA．又 AB⊥ AD，从而 AB与平面 VAD内两条相交直线 VA、 AD都垂直，∴ AB⊥平面 VAD；（ 2）设E为的中点，则E1，，3DV202∴uuur3，，3，uuur3，，3 ，uuur(10，，3)．EA202EB222DVuuur uuur33∴g，，g，，，EB DV222(103)0∴ EB⊥ DV．又 EA⊥ DV，因此∠ AEB是所求二面角的平面角．uuur uuuruuuruuurg21EA EB∴ cos EA，EBuuuruuur．EA EB7故所求二面角的余弦值为21 ．7（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4 已知正四棱锥 V－ ABCD中， E为 VC中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h．（ 1）求∠ DEB的余弦值；（ 2）若 BE⊥ VC，求∠ DEB的余弦值．解析：（ 1）如图 4，以 V 在平面 AC的射影 O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥ BC，Oy∥ AB，则由 AB＝ 2a， OV＝ h，有 B（ a， a，０）、 C（ - a，a，０）、 D（ - a， - a，０）、 V（ 0，0，h）、a a hE ， ，2 2 2∴ uuur3ah，uuura3h．BE，，DE， ，a2a22222uuur uuuruuuruuur22BE gDE6ah∴，cos BE DEuuuruuur10a2h2，BEDE即 cos∠ DEB6a2h2；10a2h2（ 2）因为 E是 VC的中点，又 BE⊥ VC，uuur uuur3aha， a， h) 0所以 BEgVC0 ，即a，， g(，222∴ 3 a2a2h20 ，∴ h2a ．222uuur uuur226ah1 ，即cos∠ DEB1这时，cos BE DE10a2h23．3引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例 5 已知两个正四棱锥 P－ ABCD与 Q－ ABCD的高都为 2， AB＝ 4．（ 1）证明： PQ⊥平面 ABCD；（ 2）求异面直线 AQ与 PB所成的角；（ 3）求点 P到面 QAD的距离．简解：（ 1）略；（ 2）由题设知， ABCD是正方形，且 AC⊥ BD．由（ 1）， PQ⊥平面 ABCD，故可分别以直线 CA， DB， QP 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得uuuruuuruuur uuuruuur uuurg1，，，，，，AQ2)，AQ PB．(2202。