高考数学试题分类汇编数列、极限和数学归纳法.doc

数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.（18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I）设构成等比数列，其中则 ①， ② ①×②并利用 （II）由题意和（I）中计算结果，知 另一方面，利用 得所以 安徽文（7）若数列的通项公式是,则（A） 15 (B) 12 (C ) (D) （7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：，故.故选A.北京理11.在等比数列中，若，，则公比________；________.【解析】，，是以为首项，以2为公比的等比数列，。

20.若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999. 故是递增数列.综上，结论得证 （Ⅲ）令 因为 …… 所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得北京文（14）设,,，记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ；的所有可能取值为 。

6；6，7，8（20）（本小题共13分）若数列满足，则称为数列，记I）写出一个数列满足；（II）若，证明：数列是递增数列的充要条件是（III）在的数列中，求使得=0成立的的最小值解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999. 故是递增数列.综上，结论得证 （Ⅲ）所以有：，，，…，；相加得：，所以在的数列中，使得=0成立的的最小值为9福建理16．(本小题满分13分) 已知等比数列的公比，前3项和． (Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．解：(Ⅰ)由得，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为函数最大值为3，所以，又当时函数取得最大值，所以，因为，故，所以函数的解析式为。

福建文17．（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1＝1，a3＝－3Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值解：（Ⅰ）由a1＝1，a3＝－3得，所以an＝3－2n；（Ⅱ），解得k＝7广东理11.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .20.（本小题满分12分）设数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,广东文11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比 ．220．（本小题满分14分） 设b>0,数列满足,．（1） 求数列的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数,．解：（1）；；（2），，；，湖北理12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】解析：设该数列的首项为，公差为，依题意，即，解得，则，所以应该填.19.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且满足：， N*，.（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.解：（Ⅰ）由已知：得，两式相减得，又所以当时数列为：，0，0，0，…，当时，由已知，所以，，于是所以数列成等比数列，即当时综上数列的通项公式为（Ⅱ）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：当时由（Ⅰ）知，此时，，成等差数列；当时，若存在 N*，使得，，成等差数列，则2=+∴，由（Ⅰ）知数列的公比，于是对于任意的N*，且，；所以2=+即，，成等差数列；综上：对于任意的，且，，，成等差数列。

湖北文17.（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、I) 求数列的通项公式；(II) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列解：(I)设成等差数列的三个正数分别为；则；数列中的、、依次为，则；得或（舍），于是(II) 数列的前n项和，即因此数列是公比为2的等比数列湖南文20．（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（I）求第n年初M的价值的表达式；（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列． 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新．湖南理12、设是等差数列的前项和，且，则答案：25解析：由可得，所以。

江苏13.设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.答案：.解析：由题意：，，而的最小值分别为1，2，3；.本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.20.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立.（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式.答案:（1）即：所以，n>1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：解析：本题主要考查数列的概念,通项与前n项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题.江西理5. 已知数列的前项和满足：，且，那么A.1 B.9 C.10 D.55【答案】A【解析】，可得，，可得，同理可得，故选A18. （本小题满分12分）已知两个等比数列，，满足，，，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【解析】（1）设的公比为，则，，，由，，成等比数列得，即，解得，所以的通项公式或.（2） 设的公比为，则由，得由得，故方程（*）有两个不同的实根.由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得.江西文5.设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析： 21.(本小题满分14分） （1）已知两个等比数列，满足， 若数列唯一，求的值； （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．解：（1）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。

当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合综上：2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列辽宁理17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列的前n项和．（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 ………………5分 （II）设数列，即，所以，当时，所以综上，数列 ………………12分辽宁文5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 B A．2 B．4 C．8 D．1615．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．—1全国Ⅰ理（17）（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且（Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设 求数列的前n项和.（17）解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。

由条件可知a>0,故由得，所以故数列{an}的通项式为an=Ⅱ ）=故所以数列的前n项和为全国Ⅰ文（17）（本小题满分12分）设等差数列满足，Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值解：（Ⅰ）由及，得；所以数列的通项公式为（Ⅱ），所以时取得最大值全国Ⅱ理（4）设为等差数列的前项和，。