高三数学三角公式复习及重要化简技巧综合课件.ppt
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三角公式复习及重要化简技巧综合 一、两角和与差的三角函数一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式二、二倍角公式( (升幂公式升幂公式) )( (降次公式降次公式) )sin( )=sin cos cos sin cos( )=cos cos sin sin - - + tan( )= tan tan 1 tan tan - - + asin +bcos = a2+b2 sin( + ) cos2 =cos2 - -sin2 =2cos2 - -1=1- -2sin2 sin2 =2sin cos tan2 = 2tan 1- -tan2 sin2 =1- -cos2 2 cos2 =1+cos2 2 公式选择公式选择1.从函数的名称考虑从函数的名称考虑 切割化弦切割化弦( (有时也可考虑有时也可考虑“弦化切弦化切” ) ), 异名异名化同名化同名( (使函数的名称尽量统一使函数的名称尽量统一) ); 2.从角的特点考虑从角的特点考虑 异角化同角异角化同角, 抓住角之间的规律抓住角之间的规律( (如互余、互如互余、互补、和倍关系等等补、和倍关系等等) );3.从变换的需要考虑从变换的需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的; 4.尽量避开讨论尽量避开讨论 常用技巧与方法常用技巧与方法1.变换常数项变换常数项 将常数变换成三角函数将常数变换成三角函数; 2.变角变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一角尽量统一; 3.升幂或降次升幂或降次 运用倍、半角公式进行升幂或降次变换运用倍、半角公式进行升幂或降次变换, 从而改变三角函数式的结构从而改变三角函数式的结构;4.运用代数变换中的常用方法运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等因式分解、配方、凑项、添项、换元等等. 三角函数式化简目标三角函数式化简目标1.项数尽可能少项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少角尽可能小和少;4.次数尽可能低次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号尽可能不带根号;7.能求出值的求出值能求出值的求出值. 典型例题典型例题 1.求求 sin220º+cos250º+sin20ºcos50º 的值的值.= . 3412解法解法1 原式原式=(sin20º+ cos50º)2+ cos250º 3412=[sin(50º- -30º)+ cos50º]2+ cos250º 34=(sin50ºcos30º)2+ cos250º 34思维精析思维精析 从角入手从角入手, 化异角为同角化异角为同角.= . 34解法解法2 原式原式=sin2(50º- -30º)+cos250º+sin(50º- -30º)cos50º=(sin50ºcos30º- -cos50ºsin30º)2+cos250º +(sin50ºcos30º- -cos50ºsin30º)cos50º= (sin250º+cos250º)34思维精析思维精析 从形入手从形入手, 配成完全平方配成完全平方. 2.已知已知 < < < , cos( - - )= , sin( + )=- - , 求求 sin2 的值的值. 2 43 131235解解: ∵∵ < < < , 2 43 ∴∴0< - - < , < + < . 4 23 ∴∴sin( - - )= , cos( + )=- - , 45135∴∴sin2 =sin[( + )+( - - )] =sin( + )cos( - - )+cos( + )sin( - - ) =- - +(- - ) 351312451356556=- - . ∴∴sin( - - )>0, cos( + )<0, 角的变换：把所求的角转化成已知条件给出的角！角的变换：把所求的角转化成已知条件给出的角！ 3.已知已知sin +cos =2sin , sin cos =sin2 , 求证求证: 2cos2 =cos2 .证证: ∵∵sin +cos =2sin , ∴∴(sin +cos )2=4sin2 . ∴∴1+2sin cos =2(1- -cos2 ). ∵∵sin cos =sin2 , ∴∴1+2sin2 =2(1- -cos2 ). ∴∴1+1- -cos2 =2(1- -cos2 ). ∴∴2cos2 =cos2 . 4.已知已知 sin =msin(2 + ), 其中其中 m 0, 2 + k (k Z), 求证求证:tan( + )= tan . 1- -m 1+m 证证: ∵∵sin =msin(2 + ), ∴∴m= . sin sin(2 + ) =tan( + ). ∴ ∴ tan = tan 1- -m 1+m sin(2 + )+sin sin(2 + )- -sin = tan 2sin( + )cos 2cos( + )sin ∴∴tan( + )= tan . 1- -m 1+m 另证另证: ∵∵sin =msin(2 + ), ∴∴sin[( + )- - ]=msin[( + )+ ]. ∴∴sin( + )cos - -cos( + )sin 整理得整理得 (1- -m)sin( + )cos =(1+m)cos( + )sin . =m[sin( + )cos +cos( + )sin ]. ∴∴tan( + )= tan . 1- -m 1+m 4.已知已知 sin =msin(2 + ), 其中其中 m 0, 2 + k (k Z), 求证求证:tan( + )= tan . 1- -m 1+m 5.已知已知 tan , cot 是关于是关于 x 的方程的方程 x2- -kx+k2- -3=0 的两实的两实根根, 且且 3 < < , 求求 cos(3 + )+sin( + ) 的值的值.72解解: 由已知由已知 k2- -3=tan cot =1, ∴∴ k2=4.∴∴k=tan +cot >0.∵∵3 < < , 是第三象限角是第三象限角, 72∴∴tan +cot =2.∴∴tan =1.∴∴ =3 + .4 ∴∴cos(3 + )+sin( + )=cos +sin 4 4 = 2 . =cos(6 + )+sin(4 + ) 4 4 6.已知已知 tan( - - )= , tan =- - , 且且 , (0, ), 求求 2 - - 的值的值.1217解解: 由已知由已知 tan =tan[( - - )+ ]1217- -1217××1+ =13= . ∴∴tan(2 - - )=tan[( - - )+ ]1213+1213××1- - ==1.∵∵tan >0, tan <0, , (0, ), ∴∴0< < , < < .2 2 ∴-∴- < - - <0. 又又 tan( - - )>0, ∴-∴- < - - <- - . 2 ∴-∴- <2 - - <0. 2 - - =- - .43 ∴∴由由 tan(2 - - )=1 知知 注注 亦可由亦可由 tan <1 得得 0< < .4 ∴∴0<2 < . 2 ∴-∴- <2 - - <0. 7.计算计算 - - +64sin220º.sin220º 3cos220º 1sin220ºcos220º 3cos220º- -sin220º解解: 原式原式= +64sin220ºsin220ºcos220º ( 3cos20º+sin20º)( 3cos20º- -sin20º)= +64sin220º sin240º 16sin80ºsin40º= +64sin220º =32cos40º+64sin220º =32(1- -2sin220º)+64sin220º =32. 解法解法1 ∵∵sin22 +sin2 cos - -cos2 =1, ∴∴4sin2 cos2 +2sin cos2 =2cos2 . 1.已知已知 sin22 +sin2 cos - -cos2 =1, (0, ), 求求 sin , tan 的值的值. 2 ∴∴cos2 (2sin2 +sin - -1)=0cos2 (2sin - -1)(sin +1)=0.∵∵ (0, ), 2 ∴∴cos2 0, sin +1 0.∴∴2sin - -1=0. ∴∴sin = .12∴∴ = .6 ∴∴tan = .33故故 sin , tan 的值分别为的值分别为 和和 . 3312课后练习课后练习 2.已知已知 cos =- - , cos( + )= , 且且 ( , ), + ( , 2 ), 求求 . 131226 17 2 23 23 23 23 解解: ∵∵ ( , ), + ( , 2 ), ∴∴ (0, ). 26 7 2 又由已知得又由已知得 sin =- - , sin( + )=- - , 135∴∴cos =cos[( + )- - ] =cos( + )cos +sin( + )sin = (- - )+(- - )(- - ) 131213526 17 2 26 7 2 =- - . 22∴∴ = . 43 3.已知已知 sin( +2 ) sin( - -2 )= , ( , ), 求求 2sin2 +tan - -cot - -1 的值的值. 2 4 4 144 解解: 由已知由已知 =sin( +2 ) sin( - -2 ) 144 4 =sin( +2 ) cos( +2 )4 4 = sin( +4 )2 12= cos4 . 12∴∴cos4 = . 12∵∵ ( , ),4 2 ∴∴ = . 12 5 ∴∴2sin2 +tan - -cot - -1=- -cos - -2cot 65 65 =- -cos2 - -2cot2 = +2 3 32= 3 . 52=cos +2cot6 6 4.已知已知 tan( + )= . (1)求求 tan 的值的值; (2)求求 的值的值.sin2 - -cos2 1+cos2 124 12解解: (1)∵∵tan( + )= , 且且 tan( + )= ,4 4 1+tan 1- -tan 1+tan 1- -tan 12∴ ∴ = . 解得解得 tan =- - . 13(2)原式原式= 2sin cos - -cos2 1+2cos2 - -1 2sin - -cos 2cos =12=tan - - 13=- - - - 12=- - . 56 5.已知已知 6sin2 +sin cos - -2cos2 =0, [ , ), 求求sin(2 + ) 的值的值.2 3 解解: ∵∵6sin2 +sin cos - -2cos2 =0, ∴∴(3sin +2cos )(2sin - -cos )=0. ∴∴3sin +2cos =0 或或 2sin - -cos =0. 又由已知得又由已知得 cos 0, 2 ∴∴ . 2 ∴∴ ( , ), 从而从而 tan <0. ∴∴tan =- - . 23∴∴sin(2 + )=sin2 cos +cos2 sin 3 3 3 =sin cos + (cos2 - -sin2 ) 32sin cos cos2 +sin2 cos2 - -sin2 cos2 +sin2 = + 32= + tan 1+tan2 1- -tan2 1+tan2 32=- - + 3 . 136265 。
