2025-2026学年辽宁省东北大联考高二上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）.docx

2025-2026学年辽宁省东北大联考高二上学期10月阶段检测数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分1.若直线x+ay=0的倾斜角为π6，则a=(    )A. 33 B. 3 C. - 33 D. - 32.在空间直角坐标系O-xyz中，若点P(a-1，a，a+2)在平面yOz内，则|OP|=A. 5 B. 10 C. 13 D. 103.若直线l1:2x-y+1=0与直线l2:kx+y-2=0(k∈R)平行，那么这两条直线之间的距离为(    )A. 35 B. 15 C. 3 55 D. 554.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量a=(2,3,-1)，向量b=(m,1,5)与平面α平行，则m=A. -1 B. 1 C. -2 D. 25.若经过点(2,1)的直线l在x，y轴上的截距之比为2:1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为(    )A. 1 B. 2 C. 4 D. 86.若向量OP在基底{a,b,c}下的坐标为(4,3,-1)，则向量OP在基底{a+2b,2a-b,c}下的坐标为(    )A. (10,5,-1) B. (2,1,-1) C. (-2,-1,1) D. (7,1,-1)7.在同一坐标系内作出直线ax-y+b=0与bx-y-a=0，则下列选项可能正确的是(    )A. B. C. D. 8.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2 2，若AA1+2xAB-yAD的最小值为 2，则点C到直线AA1的距离为(    )A. 43 B. 2 C. 4 63 D. 2二、多选题：本大题共3小题，共18分。

9.下列说法正确的是A. 任意一条直线的倾斜角都存在B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限C. 两条平行的直线一定有相等的斜率D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(    )A. AB⋅CD=AB2B. BD⋅AA1=0C. AB1⋅B1D1>0D. 当n为平面AB ​1 D ​1的法向量时，|n⋅AB||n|= 33|AB|11.在空间直角坐标系O-xyz中，经过点P(x0,y0,z0)，且一个法向量为n=(a,b,c)的平面的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.若平面α的方程为x-y-z=0，平面β的方程为kx+2y-z=6，则(    )A. 对任意k∈R，α，β不平行B. 存在k∈R，使得α，β垂直C. 当α，β夹角的余弦值为 39时，k=2D. 不存在k∈R，使得α，β的夹角在区间π6,π4内三、填空题：本大题共3小题，共15分12.坐标原点O到直线x+y- 10=0的距离为          ．13.如图，在正三棱锥A-BCD中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系．若A(a,1,3)，则二面角A-CD-B的正切值为          ，三棱锥A-BCD的体积为          ．14.已知直线l1：2x+y-4=0，过点A(1,0)的直线l2与l1及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则l2的一般方程为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知直线l经过点A(-1,2)，B(1,m).(1)若l'斜率为2，且l//l'，求m；(2)若l'的一个方向向量的坐标为(-1,3)，且l⊥l'，求m．16.已知空间三点A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)．(1)若O为原点，求异面直线OA与BC所成角的余弦值；(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1，点E满足AE=13EB，设AB=a，AD=b，AA1=c．(1)用a，b，c表示A1C，D1E；(2)若AC=AD1= 2，AC⋅AD1=12，求|2a+c|与D1E的值．18.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为A1B的中点．(1)若DE⋅A1B=0，证明：AE⊥A1B；(2)若以点A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，其中A1B=(4,0,-4)，A1D⋅BD=25．(ⅰ)求点C1的坐标；(ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．19.已知直线l1：x-ay-2=0与x轴交于点A，把l1绕点A顺时针旋转π4得直线l2：2x+y-4=0，l2与y轴交于点B．(1)求a的值；(2)若点A，B在直线x+2y+b=0的两侧，求b的取值范围；(3)若直线l1，l2关于直线l对称，求l的斜率．参考答案1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.AD 10.BD 11.ABD 12. 5 13.3；3 3 14.x-2y-1=0或x+2y-1=0 15.解：(1)因为直线l经过点A(-1,2)，B(1,m)，所以直线l的斜率为m-21-(-1)=m-22，因为l'的斜率为2，且l//l'，所以m-22=2，解得m=6．(2)因为l'的一个方向向量的坐标为(-1,3)，所以l'的斜率为3-1=-3，由(1)知直线l的斜率为m-22，因为l⊥l'，所以m-22⋅(-3)=-1，解得m=83． 16.解：(1)因为O(0,0,0)，A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以OA=(1,0,-2)，BC=(-3,-2,1)，设异面直线OA与BC所成的角为θ，则cosθ=|OA⋅BC||OA||BC|=|1×(-3)+0×(-2)-2×1| 5× 14= 7014，所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为 7014．(2)解法一：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，所以AB在AC上的投影向量的模为d=|AB⋅AC||AC|=3 14，所以点B到直线AC的距离h= |AB|2-d2= 6-914=5 3 14，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为h⋅|AC|=5 3 14× 14=5 3．解法二：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，所以|AB|= 6，|AC|= 14，cos∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=3 6× 14= 328，所以sin∠BAC= 1-cos2∠BAC= 1-328=5 714，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为|AB||AC|sin∠BAC= 6× 14×5 714=5 3．解法三：因为A(1,0,-2)，B(2,1,0)，C(-1,-1,1)，所以AB=(1,1,2)，AC=(-2,-1,3)，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为|AB→||AC→|sin⁡∠BAC= AB2AC2(1-cos2∠BAC)= AB→2AC→2-(AB→⋅AC→)2= 6×14-9=5 3． 17.解：(1)A1C=AC-AA1=AB+AD-AA1=a+b-c，因为AE=13EB=13(AB-AE)，所以AE=14AB，所以D1E=AE-AD1=14AB-AD-AA1=14a-b-c．(2)因为AC=AD1= 2，所以|AC|=|a+b|= 2，平方可得a2+2a·b+b2=1+2a·b+1=2，所以a·b=0，同理可得b·c=0，因为AC⋅AD1=(a+b)⋅(b+c)=b2+a·b+a·c+b·c=1+a·c=12，所以a·c=-12，所以|2a+c|= 4a2+4a⋅c+c2= 4-2+1= 3，D1E=|D1E|=|14a-b-c|= (14a-b-c)2= 116a2+b2+c2-12a·b-12a·c+2b·c= 116+1+1-0+14+0= 374． 18.解：(1)证明：因为DE⋅A1B=0，所以DE⊥A1B，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，因为AD∩DE=D，AD，DE⊂平面ADE，所以A1B⊥平面ADE，因为AE⊂平面ADE，所以AE⊥A1B.(2)(i)解：设AB=a，AD=b，AA1=c，则在所给坐标系中可得以下各点坐标：B(a,0,0)，D(0,b,0)，A1(0,0,c)，C1(a,b,c)，所以A1B=(a,0,-c)=(4,0,-4)，a=4，c=4，A1D=(0,b,-c)，BD=(-a,b,0)，A1D⋅BD=b2=25，解得b=5，所以C1(4,5,4)．(ii)解：设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，A1B=(4,0,-4)，BD=(-4,5,0)，则n⋅A1B=0,n⋅BD=0,即4x-4z=0,-4x+5y=0,不妨取x=5，可得n=(5,4,5)，又A1C1=(4,5,0)，所以点C1到平面A1BD的距离为|n⋅A1C1||n|=|5×4+4×5+5×0| 52+42+52=20 6633． 19.解：(1)设直线l2的倾斜角为α，则直线l1的倾斜角与α+π4的终边相同，因为直线l2的斜率为-2，所以tanα=-2，tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanα⋅tanπ4=-2+11-(-2)=-13，所以1a=-13，a=-3．(2)由已知可得A(2,0)，B(0,4)，当直线x+2y+b=0经过点A时2+0+b=0，b=-2，当直线x+2y+b=0经过点B时0+8+b=0，b=-8，所以当点A，B在直线x+2y+b=0的两侧时，-8