投影变换(换面法)课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 投影变换,问题的提出,求实长、实形、倾角？,求距离：点与直线、点与平面、两直线、直线与平面、平面与平面的距离？,求夹角：直线与直线,、直线与平面、两平面的夹角？,解决方法：投影变换当几何元素处于特殊位置时，可直接由投影中求得a,a,b,b,两点之间距离,a,a,b,b,c,c,三角形实形,a,a,b,b,c,c,d,d,直线 与平面的交点,求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析,a,b,c,d,a,b,c,d,两平面夹角,第五章 投影变换,5-1 投影变换的目的和方法,1、变换的目的,研究如何变换原有的投影为新投影，以使空间几何元素由一般位置变成特殊位置，从而达到简化解题的目的2、变换的方法,研究的是投影面与空间几何元素的关系换投影面,常用的变换方法有,换面法,(辅助投影面法)和,旋转法,旋转几何元素,指的是换“投影面”,物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使,物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,，然后将物体向新投影面进行投射5-2 辅助投影面法(换面法),1、替换投影面、替换投影、替换投影轴（替换轴）,2、保留投影面、保留投影,3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴）,新投影面,新投影,新投影轴(新轴),旧投影面,旧投影,旧投影轴(旧轴),V,H,A,B,a,b,a,b,一、新投影面的选择原则,1.新投影面必须与空间几何元素处于,有利的解题位置。

平行于新的投影面,垂直于新的投影面,2.新投影面必须,垂直于,原投影面之一以构成一个相互垂直的两投影面的新体系v1,a,1,b,1,5-2 辅助投影面法(换面法),V,H,A,a,a,a,x,X,一次换面,旧投影体系,X,V,H,新投影体系,v,1,H,X,1,A点的两个投影：,a,，,a,A点的两个投影：,a,，,a,1,新投影体系的建立,二、变换原理：点的投影变换规律,X,1,v,1,a,1,a,x1,V,H,X,v,1,H,X,1,a,a,a,1,a,x,a,x1,.,a,x1,V,H,X,v,1,H,X,1,a,a,a,1,V,H,A,a,a,x,X,X,1,v,1,a,1,a,x1,新旧投影之间的关系(即变换规律),aa,1,X,1,a,1,a,x1,=,a,a,x,点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离a,x,a,点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴一次换面,二、变换原理：点的投影变换规律,X,V,H,a,a,a,x,更换H面,求新投影的作图方法,V,H,X,v,1,H,X,1,由点的,保留投影,向,新轴,作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于,替换(旧)投影,到,旧轴,的距离。

a,a,X,1,H,1,V,a,1,a,x,a,x1,a,x,1,更换V面,a,1,作图规律：,.,.,一次换面,二、变换原理：点的投影变换规律,二次变换,先把V面换成平面V,1,，V,1,H，得到中间新投影体系:,V,1,H,X,1,再把H面换成平面H,2,，H,2,V,1,，得到新投影体系:,X,2,V,1,H,2,新投影体系的建立,A,a,V,H,a,a,x,X,X,1,V,1,a,1,a,x1,H,2,X,2,a,x2,a,2,二、变换原理：点的投影变换规律,一次换面,a,x2,a,a,X,V,H,求新投影的作图方法,a,2,X,1,H,V,1,X,2,V,1,H,2,作图规律,a,2,a,1,X,2,轴,a,2,a,x2,=,aa,x1,a,1,a,x,a,x1,.,.,二次变换,V,H,A,B,a,b,a,b,三、换面法的四个基本问题,1.一次变换：一般位置直线变换成投影面平行线,用V,1,面代替V面，在V,1,/H投影体系中，AB/V,1,X,1,H,V,1,V1,a,1,b,1,空间分析,：,作图：,例：求直线AB的实长及与H面的倾角a,b,a,b,X,V,H,新投影轴的位置？,a,1,b,1,与,ab,平行。

a,1,b,1,V,H,a,a,X,B,b,b,A,二次变换：把一般位置直线变换成投影面垂直线,一次变换：把投影面平行线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,X,1,H,V,1,V,1,H,2,X,2,X,1,V,1,a,1,b,1,X,2,H,2,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线X,2,轴的位置？,a,2,b,2,a,x2,a,2,b,2,.,与,a,1,b,1,垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,X,1,轴的位置？,与,ab,平行a,b,c,a,b,c,d,V,H,A,B,C,D,X,d,3.一次变换：把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面V,1,X,1,c,1,b,1,a,1,d,1,空间分析：两平面垂直需满足什么条件？,在平面内,取一条投影面平行线,，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面作图方法：,思考：,若变换H面，需在面内取什么位置直线？,答案：正平线！,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把,三角形ABC变,换,成投影面垂直面H,V,1,X,1,作 图 过 程：,在平面内取一条水平,线AD。

d,d,将AD变换成新投影,面的垂直线b,1,a,1,d,1,c,1,反映平面对哪个投影面的夹角？,.,a,1,b,1,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；,二次换面，再变换成新投影面的平行面X,2,V,1,H,2,4.二次变换：把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB,是水平线,空间分析：,a,2,c,2,b,2,c,1,X,2,轴,的位置？,平面的实形,.,X,1,H,V,1,.,与其平行,四、换面法的应用,例1：已知点A的两面投影a、a，且Y,A,=Y,B,，及B的新投影b,1,，求a,1,，及b、bX,V,H,X,1,H,V,1,例2：求线段AB的实长，及其,、角,X,V,H,X,1,H,V,1,实长,H,1,V,实长,例3：求直线EF与,ABC平面的交点，并判别可见性X,V,H,X,1,H,V,1,b,1,距离,d,d,1,X,1,H,V,1,X,2,V,1,H,2,c,2,d,例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足Dc,c,b,a,a,b,X,V,H,如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长A,P,B,D,C,c,a,b,d,作图:,求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。

空间及投影分析：,c,1,a,1,a,2,b,2,d,2,过,c,1,作线平行于,x,2,轴如何确定d,1,点的位置？,X,1,H,1,V,1,a,2,b,2,d,2,c,2,b,1,a,1,d,1,c,1,1,1,2,1,2,1,b,2,1,1,2,2,2,例5.求两直线AB与CD的公垂线X,2,V,1,H,2,返回,空间及投影分析,：,AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面例6:过C点作直线CD与AB相交成60角d,X,1,H,V,1,X,2,V,1,H,2,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,c,2,c,1,a,1,b,1,a,2,d,2,d,b,2,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影用基本法和换面法分别求解）,思考：,如何解？,解法相同！,60,D点的投影如何返回？,.,.,例,7,已知,E,点在平面,ABC,上，距离,A,、,B,为15，求点,E,的投影,d,d,b,1,a,1,c,1,d,1,X,1,H,1,V,a,2,c,2,b,2,d,2,X,2,V,2,H,1,15,15,e,e,e,1,e,2,例8：在直线EF上找一点K,使该点到两相交平面的距离相等。

X,V,H,X,1,H,V,1,X,2,H,2,V,1,角平分线,小 结,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法,换面法,一、换面法就是,改变投影面的位置,，使它与所给物,体或其几何元素处于,解题所需的特殊位置,二、换面法的关键是要注意,新投影面的选择条件,，,即必须使,新投影面与某一原投面保持垂直关系,，,同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规,律继续有效三、,点的变换规律是换面法的作图基础,，四个基本,问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握换面法的四个基本问题：,2.二次变换：把一般位置直线变成投影面垂直线,1.一次变换：把一般位置直线变成投影面平行线,3.一次变换：把一般位置平面变成投影面垂直面,4.二次变换：把一般位置平面变成投影面平行面,新投影反映实长和一个倾角；,新投影积聚为一条直线，反映一个倾角,新投影积聚为一点,新投影反映实形,需先在面内作一条投影面平行线,。