近自由电子模型PPT课件.ppt

三．近自由电子模型三．近自由电子模型无限大真空中自由电子k可取连续值 周期性边界条件自由电子气k取分离值索末菲模型自由电子费米气泡利不相容费米分布S－方程周期势场微扰 近自由电 子模型 晶体中电子与自由电子的区别在于晶体中电子与自由电子的区别在于周期边界条件和周期势场周期边界条件和周期势场 如果假设晶体中有一个很弱的如果假设晶体中有一个很弱的周期势场，则电子的运动情况应周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫状态的新特点，这样的电子就叫近自由电子近自由电子近自由电子哈密顿算符可写成近自由电子哈密顿算符可写成 :其中其中 是自由电子的哈密顿算符；是自由电子的哈密顿算符； 后用或两边取共轭两边取共轭∵周期场是实的周期场是实的    V(x)＝＝V※（（x））∴∴ VGn※＝＝V－－Gn          V※n＝＝V－－n后用    由由量量子子力力学学定定态态非非简简并并微微扰扰理理论论可可知知，，定态薛定谔方程定态薛定谔方程      (k,r)＝＝E(k)  (k,r)                          的解是的解是           E(k)＝＝ E(0)(k)＋＋ E(1)(k)＋＋ E(2)(k)＋＋…                                   (k,r)＝＝  (0)(k,r)+ (1)(k,r)＋＋…                     零级近似解，就是自由电子的解：零级近似解，就是自由电子的解：                          (0)(k,r)＝＝               由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为     E(1)(k)＝＝H’kk＝＝         (k,r)V(r) (0)(k,r)d r＝＝       =0 由平面波的正交归一性由平面波的正交归一性 其中微扰矩阵元其中微扰矩阵元 Hkk’＝（0〕※(k, r)V(r)(0)(k’，，r)dr后用交换求和次序交换求和次序  ∴ E(k)＝E(0) (k)+E(2) (k) 其中 ψ(k,r)＝ψ(0)(k,r)+ψ(1)(k,r)讨论讨论： ①① 晶体中的波函数晶体中的波函数ψ(k,r)由两部分组成：由两部分组成：一部分是原来波矢为一部分是原来波矢为k的平面波，的平面波，另一部分是波矢为另一部分是波矢为k－－Gh的散射波的叠加。

的散射波的叠加周期势场周期势场V( r )较弱时，它的展开系数较弱时，它的展开系数VGh也较小，当也较小，当k2与与|k－－ Gh | 2 相差较大时，散相差较大时，散射波较弱射波较弱 使E(2) (k)→∞（不收敛）的条件： E(0) (k)＝E(0) (k，，) k’=k－－Gh② 当E(0) (k)＝E(0) (k，，)，能量相等，是否以上计算无效？∵ k’≠k－－Gh的态未进入E、ψ的表示式，这样的k’态和k态之间无耦合 先计算 ，只有当 ≠0时，二态之间才有耦合，在所有有耦合的态中，再考虑有无简并而分别处理若有简并按下面的简并微扰处理思路思路：2．定态简并微扰．定态简并微扰k-k’= n + n =Gh•且 E(0)(k)＝E(0)(k’) ∴ 布里渊区边界的二态简并 •由上式看到，当满足 E(0) (k)＝E(0) (k，) k’=k + Gh时修正项很大，应该用定态简并微扰理论例如：当k＝nk’＝－ n由量子力学简并微扰理论ψ(0)（（k,r））＝Aψ（0）（k,r）＋Bψ（0）（k’’,r）考虑一维情况，注意到 （0）ψ（0）（k,x）＝E（0）(k) ψ（0）（k,x） 代入得得        A[ E(0)(k)-E(k) +V(x) ] eikx+          +B[E(0)(k)-E(k) +V(x) ] eik’’x =0 等式两边乘等式两边乘e－－ikx ，并对整个晶体积分，并注，并对整个晶体积分，并注意到意到E(0)(k)，，E(k)不是不是x的函数，并利用的函数，并利用（0〕※(k, r)V(r)(0)(k, r)dr=V(x)=0类似，等式两边乘类似，等式两边乘e－－ik’’x ，并对整个晶体积分，并对整个晶体积分得到得到               - V※nA + [E(k)-E(0)(k)]B =0       (B) 得到得到           [E(k)-E(0)(k)]A -BVn   =0        (A) 已知已知 A和和B同时具有非零解的条件是同时具有非零解的条件是 E(k)-E(0)(k) -Vn = 0 - V※n E(k)-E(0)(k)可解得 能能量量差差为为2|Vn|,则则原原来来能能量量相相等等的的两两个个态态的的能能量量不不再相等，简并消除，出现禁带，所以说，再相等，简并消除，出现禁带，所以说，禁带的出现是周期场作用的结果禁带的出现是周期场作用的结果。

3．能隙产生的物理解释．能隙产生的物理解释                                                                        若利用若利用E（（k）的表示式可确定）的表示式可确定A，，B，即可得，即可得到波函数的表示式到波函数的表示式将※以一维晶体为例，第一的边界以一维晶体为例，第一的边界    k=(π/a)，，k’’＝＝-(π/a)是两个简并态是两个简并态,有有代入代入A式式   [E(k)-E(0)(k)]A -BVn   =0         (A)  得到得到 ±|V1|A－－ V1B=0        得得       ＝＝ V1 / ±|V1|－－V－－1A±|V1|B＝＝0       得得       ＝＝±|V1| / V-1- V※nA + [E(k)-E(0)(k)]B =0       (B)类似，代入类似，代入B式，式，并注意到并注意到      V※n = V-n ,得得又又∵∵V(x)是周期函数，在各向同性的晶体中，是周期函数，在各向同性的晶体中，选取合适的坐标系，可使选取合适的坐标系，可使 ∴Vn ＝ Vn * V(x)＝V(-x)＝ 而前面已得而前面已得   Vn*＝＝V－－n         ∴∴Vn ＝＝ V－－n ∴ （A/B）＝±1 由※式因而因而ψ（（π/a,x）有两个解，对应二个带：）有两个解，对应二个带：90 电子云驻波分布 ρ＋＝│Ψ+(0) │2 ＝4L－1A2Cos2(πx/a) ρ- ＝│Ψ-(0) │2 ＝4L－1A2Sin2(πx/a) 由图可知，由图可知，ψ－－(π/a,x)的势能的势能                        比比ψ＋＋(π/a,x)的势能高。

的势能高这就是在这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃边界上能量产生不连续跳跃的原因势能之差＝能隙＝势能之差＝能隙＝2│Vn│4．近自由电子的状态密度．近自由电子的状态密度自由电子的态密度函数自由电子的态密度函数D（（E）为）为对晶体中的电子对晶体中的电子 以二维正方晶格为例，当波矢以二维正方晶格为例，当波矢k到达布里渊区边到达布里渊区边界时，出现禁带，宽度为界时，出现禁带，宽度为2│Vn│，当波矢远离，当波矢远离布里渊区边界时，电子能量基本仍为自由电子布里渊区边界时，电子能量基本仍为自由电子的表示式，从远离到接近布里渊区边界的过程的表示式，从远离到接近布里渊区边界的过程中，修正项逐渐增大，但其变化应是连续的中，修正项逐渐增大，但其变化应是连续的。