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高中不等式的基本知识点和练习题含答案 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关係 1、应用不等式（组）表示不等关係； 不等式的主要性质： (1)对称性：　　　　　　　(2)传递性： (3)加法法则：； (同向可加) (4)乘法法则：； (同向同正可乘) (5)倒数法则：　　(6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的係数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的係数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恆为正或恆为负时可去分母 4、不等式的恆成立问题：常应用函式方程思想和“分离变数法”转化为最值问题 若不等式在区间上恆成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恆成立,则等价于在区间上 （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角座标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点()，把它的座标（)代入ax+by+c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从ax0+by0+c的正负即可判断ax+by+c＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变数x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函式： 关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变数x、y的解析式，叫线性目标函式． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函式**性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函式取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函式**性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函式； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函式作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函式的最优解 （四）基本不等式 1．若a,b∈r,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号. 3．如果a,b∈r+,ab=p(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值; 如果a,b∈r+,且a+b=s(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cr，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解 （一）不等式与不等关係 题型二：比较大小（作差法、函式单调性、中间量比较，基本不等式） 1.设，，，试比较的大小 （二）解不等式 题型三：解不等式 解不等式3 . 2.不等式的解集为，则=_____, b=_______ 3.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 题型四：恆成立问题 4.关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恆成立，则a的取值範围是 5.若不等式对的所有实数都成立，求的取值範围. 6.已知且，求使不等式恆成立的实数的取值範围 （三）基本不等式 题型五：求最值 7.求下列函式的值域 （1）y＝3x 22）当时，求的最大值 8.（耐克函式型）求的值域 注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函式的单调性 9.（用耐克函式单调性）求函式的值域 （1）若实数满足，则的最小值是 （2）已知，且，求的最小值 （3）已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值. （4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值. 题型六：利用基本不等式证明不等式 10.已知为两两不相等的实数，求证： 11.已知a、b、c，且。

求证： （四）线性规划 题型八：目标函式求最值 12.满足不等式组，求目标函式的最大值 13.已知满足约束条件： ,则的最小值是 14.已知变数（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值範围为 15.已知实数满足如果目标函式的最小值为，则实数等于（ ） 题型九：实际问题 某饼店製作的豆沙月饼每个成本35元，售 价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？ 複习――不等式的基本知识参*** 高中数学必修内容练习---不等式 16.②③⑥⑦⑧； 17.； 18.当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝ 19.∵∴ （ ∴r>q>p 20.21.或； 22.）； 23.不等式的解集为，则=___-6____, b=__6_____ 24.）. 25.解：当a＝0时，不等式的解集为； 2分 当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0 不等式的解集为； 6分 当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分 当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分 当a＝1时，不等式的解为φ． 12分 26._____0≤x＜4________ 27.） 28.29.解：（1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞） （2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2； 当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 30.（1）解， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

（2）当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8 31.解析一： 当,即时, （当且仅当x＝1时取“＝”号） 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值 当,即t=时, （当t=2即x＝1时取“＝”号） 32.解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函式，故 所以，所求函式的值域为 33.（条件不等式） （5）解：都是正数，≥ 当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6． （6）解：， 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， （7）解：x＝x＝x 下面将x，分别看成两个因式： x≤＝＝ 即x＝x≤ （8）解：法一：a＝， ab＝b＝ 由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8 ∴ ab≤18 ∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2 令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 ∴≤3，ab≤18，∴y≥ 34.已知为两两不相等的实数，求证： 35.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 36.已知a、b、c，且。

求证： 证明： a、b、c，上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 当且仅当时取等号 37.解：　　若设汙水池长为x米，则宽为 （米） 水池外圈周壁长： （米） 中间隔墙长： （米） 池底面积：200（米2） 目标函式： 38.4 39.40.1 4142.5 解：设一盒内放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元 则x，y必须满足， 目标函式为z＝15x＋10y 10。