考研数学三知识点总结资料.pdf

高数高数 三角函数变换 cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinAcosB= 1 2 [sin(A+B)+sin(A−B)]sinxcosx= 1 2 sin2x sinAsinB= 1 2 [cos(A−B)−cos(A+B)]sin2x= 1 2 (1−cos2x) cosAcosB= 1 2 [cos(A−B)+cos(A+B)]cos2x= 1 2 (1+cos2x) cos2x=1−tan 2x 1+tan 2x sin2x= 2tanx 1+tan 2x arcsinx+arccosx=π 2 arctanx+arccotx=π 2 arctanx+arctan 1 x =π 2 圆柱体积 V =πr2h 圆锥体积 V =1 3 πr 2h 球体积 V = 4 3 πr3 椭圆面积 S=πab 抛物线y2=2px交点坐标 ( p 2 ,0) 准线 x=− p 2 点到直线距离 ∣ax0+by0+c∣ √a 2+b2 第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值 f (x0+0)= f (x0−0)≠ f (x0) 跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等 f (x0+0)≠ f (x0−0) 第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞ 重要极限 lim x→0 sinx x =1 lim x→∞ (1+ 1 x ) x =elim x→0 (1+x) 1 x=e x趋向于 0 时的等价无穷小 sinx∼x tanx∼x arcsinx∼x arctanx∼x 1−cosx∼ 1 2 x2 ln(1+x)∼x loga(x+1)∼ x lna e x−1∼x ax−1∼xlna n √1+x−1∼ x n (1+bx)a−1∼abx 导数公式 (a x)'=axlna (logax)'= 1 xlna (tanx)'=sec2x (cotx)'=−csc2x (secx)'=secxtanx (cscx)'=−cscxcotx (arcsinx)'= 1 √1−x 2 (arccosx)'=− 1 √1−x 2 (arctanx)'= 1 1+x2 (arccotx)'=− 1 1+x2 [sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+ n 2 π)[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+ n 2 π) ( 1 ax+b ) (n) =(−1) nann! (ax+b)n+1 [ln(ax+b)](n)=(−1) n−1(n−1)!an (ax+b)n 积分公式 ∫ dx √x 2±a2=ln∣x+√x 2±a2∣+C ∫ dx √a 2−x2=arcsin x a +C ∫ dx x2−a2= 1 2 ln∣x−a x+a∣+C ∫ dx x2+a2= 1 a arctan x a +C∫ dx a2x2+b2 = 1 ab arctan ax b +c ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+c ∫√a 2−x2dx=a 2 2 arcsin x 2 + x 2 √a 2−x2+c ∫√x 2±a2dx=x 2 √x 2±a2±a 2 2 ln∣x+√x2±a2∣+c ∫0 π 2 sin n xdx=∫0 π 2 cosnxdx=(n−1)!! n!! π 2 (n为偶数) ∫0 π 2 sin n xdx=∫0 π 2 cosnxdx=(n−1)!! n!! (n为奇数 ) ∫0 π 2 f (sinx)dx=∫0 π 2 f (cosx)dx ∫0 π xf (sinx)dx=π 2∫0 π f (sinx)dx=π∫0 π 2 f (sinx)dx ∣∫0 x f (t)dt∣≤∫0 x ∣f (t)∣dt ∫0 a f (x)dx= 1 2∫0 a [ f (x)+ f (−x)]dx ∫ −a a f (x)dx=∫0 a [ f (x)+ f (−x)]dx f x ' (x, y) , f y ' (x ,y) 在 (x0,y0) 连续 ⇒z= f (x ,y) 在 (x0,y0) 可微 ⇒ f (x, y) 在 (x0,y0) 连续 二重积分特点 积分区域D 关于x轴对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为y 的奇函数，即 f (x ,−y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为y的偶函数，即 f (x ,−y)= f (x ,y) 积分区域D 关于y轴对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为x 的奇函数，即 f (−x, y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为x的偶函数，即 f (−x, y)= f (x ,y) 积分区域关于原点对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为x，y 的奇函数，即 f (−x,−y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为x，y的偶函数，即 f (−x,−y)= f (x, y) 函数展开式 e x=1+x+1 2! x 2+⋯+1 n! xn=∑ k=0 n xk k! sinx=x− 1 3! x3+ 1 5! x5−⋯+(−1)n−1 1 (2n−1)! x2n−1=∑ k=0 n (−1)k x2k+1 (2k+1)! cosx=1− 1 2! x2+ 1 4! x4−⋯+(−1)n 1 (2n)! x2n=∑ k=0 n (−1)k x2k (2k)! ln(1+x)=x− 1 2 x2+ 1 3 x3+⋯+(−1)n−1 1 n xn=∑ k=1 n (−1)k−1 xk k 1 1+x =∑ k=0 n (−1)kxk 1 1−x =∑ k=0 n xk 多元函数极值：驻点 (x0,y0) 满足 f x ' (x0,y0)=0 ，fy ' (x0,y0)=0 且 A= f xx ' ' (x0,y0) ,B= fxy ' ' (x0,y0),C= f yy ' ' (x0,y0) B2−AC0 时是最小值， A0时， (x0,y0) 不是极值点。

B2−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论 一阶线性微分方程：y'+ p(x)y=q(x) 公式法通解：y=e −∫p(x)dx [∫q(x)e∫ p(x)dx dx+C] 二阶常系数线性微分方程：y' '+py'+qy=0 ，特征方程： r 2+pr=q=0 Δ= p2−4q0时，有两个相异实根 r1r2 ，通解y= f (x)=C1e r1x+C 2e r2x Δ= p2−4q=0 时，有二重根r，通解 y= f (x)=(C1+C2x)erx Δ= p2−4q0 ±iβ 不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx ±iβ 是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx) 差分一般形： yt+1+ayt= f (t) ，通解 yt=C (−a)t f (x) 形式特解形式 f (t)=Pn(t) Pn(t) 为n 次多项式 a+1≠0 ， y=Qn(t) a+1=0 ， y=tQn(t) f (t)=Mbta+b≠0，y=Abt a+b=0 ，y=Atbt f (t)=Mcosβt+Nsinβty=Acosβt+Bsinβt 渐近线 x=a 是垂直渐近线 lim x→a f (x)=∞ ，必须是a左右都趋于无穷。

x→+∞ 时， y=b 是水平渐近线 ⇔ lim x→+∞ f (x)=b x→+∞ 时， y=kx+b 是斜渐近线 ⇔ lim x→+∞ f (x) x =k ，且 lim x→+∞ [ f (x)−kx]=b 在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察 x→−∞ 时的情况 级数∑ n=1 ∞ Un收敛的必要条件是 lim n →∞ Un=0 若级数∑ n=1 ∞ Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响 ∑ n=0 ∞ aqn，当∣q∣1 时收敛，当 p≤1 时发散 正项级数审敛法之一：比较判别法 ∑ n=1 ∞ Un和∑ n=1 ∞ V n 为正项级数，且 lim x→∞ V n Un=A 当 00 是必要条件） ⇔ 存在可逆矩阵C，使得A=C TC 对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和 概率概率 分布参数定义域分布率期望方差 0-1 分布P1，0pkq1−kppq 二项分布 （B） n，p0,1,⋯,nCn k pkqn−knpnpq 几何分布p1,2,⋯pqk−11 p q p2 超几何分布n，N，MCM k CN−M n−k CN n np （p=M/N） npq N−n N−1 柏松分布 （P） λ0自然数 λk k! e−λ λλ 均匀分布 （U） a，b（a，b）1 b−a a+b 2 (b−a)2 12 指数分布 （E） λ(0,+∞) λe−λ x 1 λ 1 λ2 正态分布 （N） μ,σ(−∞,+∞) 1 √2π σ e −(x−μ) 2 2σ 2 μσ 标准正态分布μ=0,σ=1(−∞,+∞) 1 √2π e −x 2 2 01 A，B不相容 ⇔P(AB)=0 ，即 A∩B=∅ A，B独立 ⇒P(AB)=P(A)P(B) 切比雪夫大数定律（注：所有大数定律都要求样本相互独立） lim n →∞ P{∣1 n ∑ i=1 n Xi− 1 n∑ i=1 n EXi∣ε}=1 EXiDXi存在，且DXi有上限 伯努力大数定律 lim n →∞ P{∣1 n ∑ i=1 n Xi−P∣ε}=1 Xi为参数P的的 0-1分布 辛钦大数定律 lim n →∞ P{∣1 n ∑ i=1 n Xi−μ∣ε}=1 Xi同分布同期望，EXi=μ 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理） lim n→∞ P{ 1 σ√n (∑ i=1 n Xi−nμ)≤x}=Φ(x)，即 ∑ i=1 n X i−nμ σ√n = 1 n∑ i=1 n Xi−μ σ/√n ∼N (0,1) Φ(x) 是标准正态分布，σ=√DX 拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布） lim n→∞ P{ Yn−np √np(1− p) ≤x}=Φ(x) ，即 Yn−np √np(1− p) ∼N (0,1) ̄X=1 n∑ i=1 n X i S 2=1 n−1∑ i=1 n (Xi−̄X)2= 1 n−1∑ i=1 n (Xi 2−n ̄X 2) E(̄X )=E(Xi)=μ D(̄X )=D (X ) n = μ2 n E(S2)=D(X )=σ 2 设 X ∼N (0,1) ，Y∼χ 2(n) ，则 t= X √ Y n t1−a(n)=−ta(n) t 2∼F (1,n) X∼χ 2(n 1) Y∼χ 2(n 2) ，则 F= X /n1 Y /n2 ，记为 F (n1,n2) F∼F(n1,n2)⇒ 1 F ∼F(n2,n1) F1−a(n1,n2)= 1 Fa(n2,n1) 设 X ∼N (0,1) ⇒ ̄ X ∼N (μ,σ 2 n )⇒ ̄X−μ σ/√n =√n( ̄X −μ) σ ∼N (0,1) ⇒ 1 σ 2∑ i=1 n (X i−μ) 2∼χ2(n) ⇒ (n−1)S 2 σ 2 =∑ i=1 n ( Xi− ̄ X σ ) 2 ∼χ 2(n−1) ⇒ ̄X −μ σ/√n √ (n−1)S2 σ 2 /(n−1) = ̄X −μ σ/√n S σ =√n( ̄ X −μ) S ∼t(n−1)⇒ n(̄X −μ)2 S 2 ∼F(1,n−1) X与 Y 不相关 ⇔Cov(X ,Y)=0⇔ EXY=EXEY ⇔ D(X +Y)=DX+DY P(AB)=P(A|B)P。