41圆的方程教学设计.doc

4.1圆的方程教学设计一、 内容及解析：1、 内容：圆的标准方程，一般方程以及简单的曲线轨迹方程2、 解析：圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几 节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是 特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节 内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用二、 目标及其解析1、 目标：（1） 掌握圆的标准方程和一般方程，能根据所给的圆心和半径求出圆的标准方程和一般方程；（2） 能根据圆的标准方程和一般方程写出圆的圆心坐标和半径；（3） 会用待定系数法求出圆的标准方程和一般方程；（4） 会实现圆的两种方程形式的相互转化；（5） 理解点与圆的位置关系；（6） 会求简单的曲线轨迹方程2、 解析：遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过 形式上的互相转化而解决因而本节的重点是圆的标准方程及直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）又 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般 方程的认识、掌握和运用。

突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆 心坐标和半径u三、 数学问题诊断分析：1、配方法的应用是学生产生方程互相转化的障碍；2、圆的一般方程的形式理解不够深刻导致判断方程是否 对应圆的方程产生障碍3、对与圆相关的简单轨迹方程不能理解四、 教学支持条件分析：多媒体辅助教学五、 教学过程设计：（一）教学基本流程圆的标准方程~K圆的一般方程圆的方程的应用简单的轨迹方程 （二）教学过程第一课时：圆的标准方程1、复习引入问题1：初中时大家已经学过圆的定义，那么初中我们是怎样定义圆的呢?设计意图：用圆的定义引入新课师生活动：学生回顾圆的定义问题2：在上一章我们学习了直线的方程，那么圆是否也可以用方程来表示呢？设计意图：用类比的方法打开学生的思维问题3：确定一条直线的要素是什么？那么确定一个圆的要素又应该是什么？师生活动：确定一条直线的要素是两个点或一个点和倾斜角，确定一个圆的要素是圆心和半径问题4：如果已知圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r,我们如何写出圆的方程？设计意图:层层设问，引出新课目标2、新课讲解：从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)? +(y= r2这个方程叫做圆的标准方程。

若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2 + y2 =r\圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r >0,圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备二个独立的条件确定a,b,r,可以根据条件，利用待定 系数法来解决，3、范例讲解例1.根据下列条件，求圆的方程.⑴ 经过A(6, 5), B(0, 1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9 = 0上.(2) 经过P(-2, 4), Q(3, —1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6.(3) 判断点(2,5)是否在(1) (2)所求出的圆上解：(l)YAB的中垂线方程为3x+2y—15 = 03x + 2y-15 = 0 解得3x + 10y + 9 = 0x = 7,=一3圆心为 C(7, -3),半径 r=765故所求圆的方程为(X —7)?+(y+3)2 = 65(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O将P、Q两点坐标代入得[2D-4£-F = 20 ①\3D-E + F = -\0 ②令 y = 0 得 x2+Dx+F=0由弦长lx】一x?l=6得D?—4F=36 ③解①②③可得 D = -2, E=-4, F=—8 或 D=—6, E=—8, F=0故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8 = 0 或 x2+y2-6x-8y = 0变式训练1：求过点A (2, ~3), B ( ~2, ~5),且圆心在直线x—2y—3=0上的圆的方程.—5—(—3) 1由 A (2, 一3), B ( —2, —5),得直线 AB 的斜率为 kAB= Z—Z — = 5，—2 — Z Z线段AB的中点为(0, -4),线段AB的中垂线方程为y+4=—2x,即y+2x +4=0,解方程组2,Y+y + 4 = 0 x-2y-3=0.•.圆心为(一1, —2),根据两点间的距曷公式，得半径r=*2+l)2 + (—3+2)2 =^/10所求圆的方程为(x+l)2 + (y+2)2=10设计意图：让学生熟悉待定系数法和几何法求圆的方程，清楚点与圆的位置关系。

目标检测：1、 写出下列圆的标准方程：(1) 圆心在C(-3,4),半径长为(2) 圆心在C(8,—3),且经过点M(5,l)2、 已知两点《(4,9),己(6,3),求以线段PR为直径的圆的方程，并判断点M(6,9),2V(3,3),2(5,3)与该圆的位置关系设计意图：用与例题类似的练习巩固学生对本课时内容得理解和消化师生活动：学生完成检测，教师提问抽查第二课时：圆的一般方程1、 复习引入问题1：已知圆的圆心坐标为A(a, b),半径为r,这个圆的标准方程应该如何表示？设计意图：用上节课的知识引入新知问题2：如果我们把圆的标准方程展开，又会得到怎样的形式？2、 新课讲解：师生活动：学生将圆的标准方程展开，整理，取D = -2A,E = -2B,F = a2+b2-r2得：x~+y- + Dx+Ey + F=O问题3：请问形如x2+y2 + Dx+Ey+F = 0的方程，它都表示一个圆吗？师生活动：学生积极讨论，教师提示查缺补漏设计意图：用提问的方式引起学生对该问题的兴趣和重视，让学生自主探寻问题的结论当"+疥_4尸>0时，方程表示圆，此时圆心为(_号,~音),半径为'='|~

设计意图：让学生从形式上对一般方程进行理解，从而更好的应用一般方程解决问题2、例题讲解例1求过三点0(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三 点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 +Dx + Ey + F=O0(0,0),M(1,1),N(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，¥=0即Jd+E+F+2=04D + 2E + F + 20 = 0解此方程组，可得：D = -8,E = 6,F =0「・所求圆的方程为：工？ + y 2 — 8] + 6y = 0使r = -Vd2 +E--4F = 5 ； -- = 4-- = -3, 2 2 2得圆心坐标为(4, -3).或将x2 +y2 -8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(% — 4)2 + (y + 3)2 = 25,从而求出圆的半径,=5,圆心坐标为(4,-3) ©设计意图：用例题1巩固待定系数法求圆的方程。

例2已知一曲线是与两个定点0 (0, 0)、A (3, 0)距离的比为]的点的轨迹，求此曲线的方程，并画 2出曲线•分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出解：在给定的坐标系里,设点M(x, y)是曲线上的任意一点，也就是点M(x,y)属于集合叩 1 x2 +y2 1即- -=—, =—J(x-3)2 + y2 2 (x-3)2 + y2 4整理得：x2 + y2 +2x-3 = 0所求曲线方程即为：x2 + y2 +2x-3 = Q将其左边配方，得(x + l)2 + y2 =4o此曲线是以点C (-1, 0)为圆心，2为半径的圆.如右上图所 设计意图：用例题2让学生理解简单动点轨迹的求法的一般步骤 目标检测：1. 下列方程各表示什么图形？ (1) x2 + y2 = 0 ;解：此方程表示一个点0 (0, 0)(2) x2 + y2 -2x + 4y-6 = 0;解：可化为：(x —1尸 +(y + 2)2 =11.•.此方程表示以点(1, -2)为圆心，为半径的圆3) x~ + y~ + 2.cix — b~ = 0解：可化为：(x + a)~ + y~=a2+b~,此方程表示以(-a , 0)为圆心，为半径的圆•2. 求下列各圆的半径和圆的坐标：(1) .r+r-6x=0 答案：即(x-3)2 +y2 = 9,圆心为(3, 0),半径为 3。

2) r+y~+2bx=Q 答案：即 x2+(y+A)2 哉2,圆心为(°, 半径为 | b\e(3) x~ + y" - 2ax — 2y[^cry + 3a" — 0答案：即(x-«)2 +(y-V3(z)2 =a~,圆心为(a,后a),半径为 3 I3^若方程x2 + y2 + 4ax-2y + 5a = 0表示的图形是圆，求a的取值范围4、求过三点A(0,-2),B(-4,0),C(-2,0)的圆的方程设计意图：对例题作适当变式，巩固学生对本课时知识的掌握() 课堂小结：1. 对方程x~ + y~ + Dx + Ey + F = 0的讨论(什么时候可以表小圆)2. 方程+ Bxy + Cy' + Dx + Ey + F=0表示一个圆的充要条件《3. 与标准方程的互化4. 用待定系数法求圆的方程5. 轨迹方程的简单步骤) 课后反思：。