2025-2026学年湖南省祁阳市第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）.docx

2025-2026学年湖南省祁阳市第一中学高二上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点A(2,-1,3)、B(1,2,3)，则AB=(    )．A. (2,-1,3) B. (1,2,3) C. (-1,3,0) D. (1,-3,0)2.若圆x2+y2-4x+8y+2m=0的半径为2，则实数m的值为(    )A. -9 B. -8 C. 9 D. 83.已知直线l的方向向量是a=(-2,2,2)，平面α的一个法向量是n=(1,-1,-1)，则l与α的位置关系是(    )A. l⊥α B. l//α C. l与α相交但不垂直 D. l//α或l⊂α4.椭圆的两个焦点是(-4,0)和(4,0)，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(    )A. x25+y24=1 B. x25+y23=1 C. x225+y29=1 D. x216+y29=15.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c则下列向量中与BM相等的向量是(    )A. -12a→+12b→+c→ B. 12a→+12b→+c→ C. -12a→-12b→+c→ D. 12a→-12b→+c→6.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知▵ABC的顶点A(-3,0)，B(3,0)，C(3,3)，则▵ABC的欧拉线方程为(    )A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-32=0 C. x+2y-3=0 D. x-2y+1=07.已知A(-3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为(    )A. 2 10 B. 6 C. 26 D. 2 68.已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+3)2+(y-2)2=1，过动点M(m,n)分别作圆C1、圆C2的切线MA，MB(A,B分别为切点)，若|MA|=|MB|，则m2+n2的最小值是(    )A. 8168 B. 12168 C. 16968 D. 4968二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(- 3,1)，则下列结论中正确的有(    )A. 直线l在y轴上的截距为-2 B. l的一个方向向量为u=- 36,12C. l与直线 3x-3y+2=0垂直 D. l与直线 3x-y+2=0平行10.已知圆C1:x2+(y-a)2=9与圆C2:(x-a)2+y2=1有四条公切线，则实数a的取值可能是(    )A. -4 B. -2 C. 2 2 D. 311.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足AP=λAC+μAD1，λ、μ∈[0,1]，则(    )A. 当λ=0时，点P到平面A1BC1的距离为 2B. 当μ=0时，点P到平面A1BC1的距离为2 33C. 当μ=34时，存在点P，使得BP⊥PC1D. 当λ=34时，存在点P，使得BC1⊥平面PCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.点P(-1,2)到直线l：2x+y-5=0的距离为          ．13.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则▵AF1B的周长          ．14.曲线y=1+ 1-x2与直线y-2=k(x-1)有两个交点，则实数k的取值范围为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知▵ABC的三个顶点分别为A(-2,1),B(3,2),C(-1,4)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)AC边的垂直平分线DE的方程．16.(本小题15分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=3,AA1=5，E，F分别在BB1,DD1上，且DF=95,BE=165，  (1)求证：A1C⊥平面AEF；(2)求异面直线AE与D1B1所成角的余弦值．17.(本小题15分)已知圆心为C的圆经过点A(1,-1)和B(4,2)，且圆心C在直线x-y+1=0上．(1)求圆C的标准方程；(2)直线 3x+y+a- 3=0与圆C相交于M，N两点，且∠MCN=120°，求实数a的值．18.(本小题17分)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9，线段RQ的端点Q的坐标是(4,3)，端点R在圆C上运动，且点T满足线段RT=2TQ，记T点的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M，N两点，试探究：①设O为坐标原点，若OM⋅ON=26，这样的直线l是否存在，若存在求出|MN|；若不存在说明理由；②求线段MN的中点D的轨迹方程．19.(本小题17分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=PB=2 2，以AB,PB为邻边作平行四边形ABPQ，D为AB的中点，E为CQ的中点．  (1)证明：AE//平面PCD；(2)若PA=PC，P,A,B,C四点在同一个球面上，设该球面的球心O．(i)证明：球心O在平面ABC内；(ii)求平面PAB与平面QAO夹角的余弦值．参考答案1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 9.ABC 10.AD 11.BD 12. 5 13.24 14.0,12 15.【详解】(1)kBC=4-2-1-3=-12，BC边所在直线的方程y-2=-12(x-3)，即x+2y-7=0；(2)kAC=4-1-1+2=3，所以kDE=-13又AC中点坐标-32,52，所以AC边的垂直平分线DE的方程y-52=-13x+32，即x+3y-6=0． 16.【详解】(1)依题意，建立以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，则A(3,0,0),C(0,4,0),A1(3,0,5),B1(3,4,5),D1(0,0,5),F0,0,95,E3,4,165，则A1C=(-3,4,-5),AE=0,4,165,AF=-3,0,95，设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=0n⋅AF=0，即4y+165z=0-3x+95z=0，令z=5，得n=(3,-4,5)，所以A1C=-n，故A1C//n，所以A1C⊥面AEF．  (2)由(1)知AE=0,4,165，D1B1=(3,4,0)，则cosAE,D1B1=AE⋅D1B1AE⋅D1B1=16 16+25625⋅ 9+16=4 4141，即异面直线AE与D1B1所成角的余弦值为4 4141． 17.【详解】(1)由圆心C在直线x-y+1=0上，设圆心C(m,m+1)，由|AC|=|BC|，得 (m-1)2+(m+2)2= (m-4)2+(m-1)2，解得m=1，因此圆心C(1,2)，半径r= (1-4)2+(2-2)2=3，所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9．(2)由(1)知，圆C的圆心C(1,2)，半径r=3，由∠MCN=120°，得圆心C到直线 3x+y+a- 3=0的距离为d=rcos60°=32，则d=| 3×1+2+a- 3| ( 3)2+12=32，即|a+2|2=32，解得a=1或a=-5，   18.【详解】(1)设Rx0,y0，则(x0-1)2+(y0 -3)2=9，设T:(x,y)，∵RT=2TQ，∴x0=3x-8y0=3y-6,∴(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9即Γ:(x-3)2+(y-3)2=1．(2)①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为y=kx+3，则y=kx+3(x-3)2+(y-3)2=1∴1+k2x2-6x+8=0设Mx1,y1,Nx2,y2，直线与圆交于两点，则36-4×8×1+k2>0，∴k2<18由韦达定理得：x1+x2=61+k2，x1⋅x2=81+k2OM⋅ON=26，则x1x2+y1y2=26⇒k2+1x1x2+3kx1+x2+9=26即k2-2k+1=0,∴k=1，与k2<18不符，所以满足条件的直线不存在；②MN中点坐标为：x1+x22,y1+y220=m→·n→m→n→=-1+1 3× 2=0．     第8页，共8页。