§.乘积测度与Fubini定理.pdf
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116§4.6 乘积测度与Fubini定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设X和Y是两个非空集, ., YBXA ⊂⊂ 称BA×为YX ×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅× BA , ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即1R =×1R .2R 当A和B是直线上的有界区间时, BA×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将1R =×1R2R这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如下性质(图6—1): (1). ).()()()(21212211BBAABABA ∩×∩=×∩× (2). )].()[(])[()()(21211212211BBAABAABABA −×∩∪×−=×−× 图6-1 设),,( µAX和),,( νBY是两个测度空间. 若,A∈A ,B∈B 则称BA×为可测矩形. 设C是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C是一个半环. 由C生成的代数−σ )(Cσ称为A与B的乘积σ -代数, 记为.BA× )()(21212BBAAE −×∩=1211)( BAAE ×−=X1Anullnullnull nullnullnullnull nullnull2A1E2B1BYnullnullnullnullnullnullnull2E 117在C上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×BA C , 令 ).()())(( BABA νµνµ ⋅=×× (1) 定理1 由(1)式定义的集函数νµ×是C上的测度. 证明 显然0))(( =∅×νµ . 往证νµ×在C上是可数可加的. 设BA×是一个可测矩形, }{nnBA ×是一列互不相交的可测矩形使得1.nnnAB A B∞=×= ×∪由于}{nnBA ×是互不相交的, 故成立 .)()()()(1∑∞−=nBABAyIxIyIxInn对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 .)()()()(1∑∞==nBnByIAyIAnµµ 再对y积分得到.)()()()(1∑∞=⋅=⋅nnnBABA νµνµ 这就是 .))(())((1∑∞=××=××nnnBABA νµνµ 即νµ×在C上是可数可加的. 因此νµ×是C上的测度. ■ 设R是由C生成的环, 即 }.1,,,:{11≥===kEEEAkkii是互不相交的可测矩形∪R 注意由于∈×YX ,R 故R实际上是一个代数. 按下面的方式将νµ×延拓到R上. 若∈E ,R E的一个分解式为,1∪kiiiBAE=×= 则令 .)()())((1∑=⋅=×kiiiBAE νµνµ (2) 由§2.2.引理7, ))(( BA××νµ的值不依赖于BA×的分解式的选取. 由定理1和§2.2定理8立即得到如下定理. 定理2 由(2)式定义的集函数νµ×是R上的测度. 设∗× )( νµ是由νµ×导出的外测度, νµ×M是∗× )( νµ可测集的全体所成的−σ代数. 由§2.2定理5, ∗× )( νµ在νµ×M上是一个测度, 称这个测度为µ和ν的乘积测度, 仍记为 118νµ× . 称测度空间),,( νµνµ×××MYX为),,( µAX与),,( νBY乘积空间. 由§2.2.定理10, 测度空间),,( νµνµ×××MYX是完备的. 容易证明若µ和ν都是−σ有限的, 则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ = ).(Rσ 由BA×的定义和§2.2定理5, BA× = )(Cσ = ⊂)(Rσνµ×M . 因此νµ×也是BA×上的测度. 有时也称测度空间),,( νµ××× BAYX为),,( µAX与),,( νBY乘积空间. 下面我们将证明Fubini定理. 为此需要作一些准备. 设., XxYXE ∈×⊂ 称集}),(:{ EyxYyEx∈∈=为E在x的截口. 类似地, 对,Yy∈ 称集}),(:{ EyxXxEy∈∈=为E在y的截口. 注意xE和yE分别是Y和X的子集(图6—2). 图6—2 容易验证关于截口成立 ,)()().i(11∪∪∞=∞==nxnxnnEE .)().ii(xxxFEFE −=− 同样, 关于y的截口也成立类似的性质. 定理3 设),,( µAX和),,( νBY是两个−σ有限的测度空间, ∈E BA× . 则 ).i(对任意,Xx∈ 必有.B∈xE ).ii( )(xEν和是),,( µAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫=× .)())(( µννµ dEEx(3) XYxEyExyEnullnullnullnullnullnullnullnullnull 119证明 ).i(设C是可测矩形的全体. 令 F }.,:{ BBA ∈∈×∈=xEXxE对任意 若∈×= BAE ,C 则当Ax∈时, .BEx=当Ax∉时, .∅=xE 故对任意,Xx∈ .B∈xE 因此.FC ⊂ 利用截口的性质容易证明F是一个σ -代数. 因此得到=×BA ⊂)(Cσ .F 即对任意Xx∈必有.B∈xE )ii(先设.)( +∞∫∫证明 令},0)(:),{( ≥>= txftxE 则}.)(:{ txfxEt>= 显然txf −)(是乘积空间)),(,(11mX ××× µRR MF上的可测函数, 故∈>−= }0)(:),{( txftxE )(1RMF × . 因此函数),()( txIxIEEt=是关于)(1RMF ×可测的. 由Fubini定理我们有 ()101{: ( ) }01{: ( ) }010()()()({ : ( ) }) .fxppXXpxf x tXpxf x tXpfxddptdtdptI xdtptdt I xdptxfxtdtµµµµµ−+∞−>+∞−>+∞−====>∫ ∫∫∫∫∫∫∫■ 下面我们将本节的结果用到nR上的Lebesgue积分上去. 定理8 设)(1RB和)(2RB分别是1R和2R上的Borelσ -代数, 1m和2m分别是1R和2R上的Lebesgue测度. 则×)(1RB =)(1RB )(2RB并且在)(2RB上.211mmm =× 即 =××× )),()(,(111111mmRRRR BB ).),(,(222mRR B 证明 设R是2R中的左开右闭方体的全体生成的环, R′是由2R中的Lebesgue可测矩形的全体生成的环. 则=)(Rσ ),(2RB =′)(Rσ ×)(1RB ).(1RB 由于⊂R R′, 故 =)(2RB =′⊂ )()( RR σσ ×)(1RB ).(1RB 反过来, 令1p和2p是2R到1R的投影函数, 即.,),(1xyxp = yyxp =),(2. 则1p和2p都是连续的, 因而是2R上的Borel可测函数. 由§3.1定理2, 若∈BA,)(1RB , 则∈−)(11Ap )(2RB , ∈−)(12Bp ).(2RB 于是 124).()()()()(2121111RRR B∈∩=×∩×=×−−BpApBABA 故⊂′R ).(2RB 于是×)(1RB =)(1RB ⊂′)(Rσ ).(2RB因此×)(1RB =)(1RB )(2RB . 由乘积测度的定义容易知道在R上.211mmm =× 由§2.2定理6知道在)(Rσ上.211mmm =× 即在)(2RB上面.211mmm =× ■ 定理9 两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间, 即 =×××),,(1111mmiimmMRR ).),(,(222mRR M (8) 证明 仍设R , R′, 1m和2m如定理8. 由定理8, =××× )),()(,(111111mmRRRR BB ).),(,(222mRR B 此即 =×′× )),(,(1111mmRσRR ).),(,(22mRσR 由§2.2定理15, ),,(1111mmiimm×××MRR和)),(,(222mRR M分别是)),(,(1111mm ×′× RσRR和)),(,(22mRσR的完备化空间. 因此(8)成立.■ 推论10 设f是2R上的非负L可测函数或L可积函数.则成立 2Rf dxdy=∫dy f dx∫ ∫11RR= .dx f dy∫ ∫11RR特别地, 当dy f dx<+∞∫∫11RR或者dx f dy<+∞∫ ∫11RR时, 成立 dy f dx∫∫11RR= .dx f dy∫ ∫11RR(我们将2R上的L积分记为2.Rf dxdy∫) 证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(1111mmiimm×××MRR上, 并利用定理9 即得. ■ 显然, 对pR与qR的乘积空间qp+R的情形,成立与推论10类似的结果. 例2 计算0sin()(0).ax bxxI eedxabx+∞−−=−<∫解 我们有 00sin() sin.bax bx xyaxe e dx dx e xdyx+∞ +∞−− −−=∫∫∫由于 001sin ln .bbbxy xyaaabdy e x dx dy e dx dyy a+∞ +∞−−≤==<+∞∫∫ ∫∫ ∫由Fubini定理(推论7), 我们有 002sin sin1arctg arctg .1bbxy xyaabaI dx e xdy dy e xdxdy b ay+∞ +∞−−====−+∫∫ ∫∫∫ 125小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第43题—第57题. 。
