[工学]第01章 有限元方法基础.ppt

FM&MEIFM&MEI* *1 1Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element MethodContents• Basic ideals • Basic equations of finite element in Mechanics (Omitted intension)FM&MEIFM&MEI* *2 2Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method1. Basic ideals有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来 的一种现代计算方法它是50年代首先在连续体力学领域 --飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分 析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流 体力学等连续性问题。

有限元法分析计算的思路和做法 可归纳如下： 1） 物体离散化 2） 单元特性分析 3） 单元组集 4） 求解未知节点位移 FM&MEIFM&MEI* *3 3Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method1） 物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这 一步称作单元剖分离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来 ；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述 变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细 则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越 大）所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物 ，而是同型材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物 体这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的 如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与 实际情况相符合 FM&MEIFM&MEI* *4 4Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method2） 单元特性分析 A、选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移作为基本知 量时称为位移法；选择节点力作为基本知量时称 为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为 基本未知量时称为混合法。

位移法易于实现计算 自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围 最广 FM&MEIFM&MEI* *5 5Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method2） 单元特性分析 A、选择位移模式 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后 ，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应 力等由节点位移来表示这时可以对单元中位移 的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描 述通常，有限元法将位移表示为坐标变量的简 单函数这种函数称为位移模式或位移函数，如 y=a其中a是待定系数，y是与坐标有关的某种函 数 FM&MEIFM&MEI* *6 6Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method2） 单元特性分析 B、分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数 目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位 移的关系式，这是单元分析中的关键一步。

此时 需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建 立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵， 这是有限元法的基本步骤之一 FM&MEIFM&MEI* *7 7Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method2） 单元特性分析 C、 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单 元传递到另一个单元但是，对于实际的连续体 ，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的 因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积 力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是 用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力 FM&MEIFM&MEI* *8 8Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method3） 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单 元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限 元方程，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移 列阵；f是载荷列阵。

FM&MEIFM&MEI* *9 9Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method4） 求解未知节点位移解有限元方程式得出位移这里，可以根据 方程组的具体特点来选择合适的计算方法 通过 上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“ 一分一合“，分是为了进行单元分析，合则为了对 整体结构进行综合分析 FM&MEIFM&MEI* *1010Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method直杆受自重作用的简单拉伸问题FM&MEIFM&MEI* *1111Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地 假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。

此处，假设单元中的 位移按线性分布 ，即：FM&MEIFM&MEI* *1212Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点 位移表示的公式：FM&MEIFM&MEI* *1313Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element MethodDefinition外载荷与结点的平衡方程为第i个结点上承受的外载荷FM&MEIFM&MEI* *1414Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出 的平衡方程为：FM&MEIFM&MEI* *1515Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element MethodFM&MEIFM&MEI* *1616Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method解线性代数方程组联立求解方程组得：DefinitionFM&MEIFM&MEI* *1717Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method有限单元法解题的一般步骤Lesson ObjectivesFM&MEIFM&MEI* *1818Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method• 结构的离散化 • 选择位移模式 • 建立平衡方程 • 求解节点位移 • 计算单元中的应力和应变Procedure1. . 2. .3. . FM&MEIFM&MEI* *1919Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method 结构的离散化• 将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻 的单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结 合体去代替原来的结构。

DefinitionFM&MEIFM&MEI* *2020Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method 选择位移模式• 首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模 式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系 式DefinitionFM&MEIFM&MEI* *2121Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of Finite Element Method有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出 用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式选择位移模式（续）选择位移模式（续）FM&MEIFM&MEI* *2222Engineering ComputationEngineering ComputationChapter 1Chapter 1Bases of Finite Element MethodBases of 。