湖南省湘西州凤凰县崇文中学2025~2026学年高二上册（9月）月考数学试题（含答案）.docx

2025-2026学年湖南省湘西州凤凰县崇文中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合M=xy= x−1 ，N=x−1≤x≤2 ，则M∪N=(    )A. (−1,2] B. [−1,2] C. (−1,2) D. [−1,+∞)2.样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为(    )A. 2 B. 4 C. 6 D. 133.已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为(    )A. 3π B. 2π C. π D. 2π4.已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x−4y+1=0的距离相等，则a=(    )A. 2 B. 92 C. 2或−8 D. 2或925.曲线f(x)=4sinπ2−xcosx+π2与直线x−y−1=0的交点个数为(    )A. 3 B. 4 C. 5 D. 66.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，AB=BC=AA1，D,E,F分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF⊥DE的有(    )A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7.正四面体P−ABC的棱长为4，点M、N分别是棱PA、PC的中点，则点A到平面BMN的距离为(    )A. 3 B. 4 2211 C. 2 D. 2 638.已知两点A(−1,5),B(0,0)，若直线l:(k+1)x−(2k−2)y+2k−6=0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为(    )A. −1,12∪12,1 B. −∞,−1∪1,+∞C. (−∞,−1]∪0,12∪12,1 D. −1,0∪1,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知A,B是随机事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.5，则下列说法正确的有(    )A. A与B可能为互斥事件B. 若P(A∩B)=0.3，则A与B相互独立C. 若B⊆A，则P(AB)=0.5D. 若A与B相互独立，则PA∪B=0.610.已知直线l1:(m+1)x+y+2m−3=0，l2:2x+my+m−2=0，则下列说法正确的是(    )A. l1/\!/l2的充要条件为m=1或m=−2B. 若l1⊥l2，则m=−23C. 若直线l1不经过第四象限，则m≤−1D. 若m=2，则将直线l2绕坐标原点按逆时针方向旋转π2，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为y=x−111.在棱长均为1的三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60∘，点T满足AT=xAB+yAC+zAA1，其中x,y,z∈[0,1]，则下列说法一定正确的有(    )A. 当点T为三角形A1B1C1的重心时，x+y+z=2B. 当x+y+z=1时，AT的最小值为 63C. 当点T在平面BB1C1C内时，x+y+z的最大值为2D. 当x+y=1时，点T到AA1的距离的最小值为 22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知sin(π4+α)=35，则sin2α+2sin2α1+tanα的值为          ．13.某次体检中，甲班学生体重检测数据的平均数是55kg，方差为16；乙班学生体重检测数据的平均数是60kg，方差为21.又甲、乙两班人数之比为3：2，则甲、乙两班全部学生体重的方差为          ．14.在平面四边形ABCD中，AB=BC=2CD=2，∠ABC=60°，∠ADC=90°，若P为边BC上一动点，当PA⋅PC取最小值时，cos∠PDC的值为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)设▵ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且向量m=(a,b)与n=(− 3cosA,sinB)共线，(1)求A；(2)若a= 13，b=3，求BC边上的高h．16.(本小题15分)已知两直线l1:x−2y+4=0，l2:4x+3y+5=0．(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；(2)求过直线l1,l2交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；(3)若直线l3:ax+2y−6=0与直线l1,l2能构成三角形，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC=60°，A1B=A1A=2．  (1)证明：平面ACC1A1⊥平面ABC；(2)若E为棱A1B1中点，求直线CE与平面ABB1A1所成角的余弦值．18.(本小题17分)过点Ax0,y0作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，若k1k2=μ(μ≠0)，则称直线l1，l2是KA(μ)定积直线或Kx0,y0(μ)定积直线．(1)已知直线a：y=kx(k≠0)，直线b：y=−13kx，试问是否存在点A，使得直线a，b是KA(μ)定积直线？请说明理由．(2)在▵OPM中，O为坐标原点，点P与点M均在第一象限，且点Mx0,y0在二次函数y=x2−3的图象上．若直线OP与直线OM是K(0,0)(1)定积直线，直线OP与直线PM是KP(−2)定积直线，直线OM与直线PM是Kx0,y0−2x02定积直线，求点P的坐标．(3)已知直线m与n是K(−2,4)(−4)定积直线，设点O(0,0)到直线m，n的距离分别为d1，d2，求d1d2的取值范围．19.(本小题17分)如图所示，在直角梯形BCEF中，BF//CE, ∠BCE=90°，A, D分别是BF, CE上的点，且AD//BC，ED=2AF=4,CD=t(00，所以sinA=− 3cosA，即tanA=− 3，因为A∈0,π，所以A=2π3．(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得13=9+c2+3c，整理得c2+3c−4=0，解得c=1或c=−4(舍)，所以S▵ABC=12bcsinA=12ah，即12×3×1×sin2π3=12× 13h，解得h=3 3926． 16.【详解】(1)由题意得，x−2y+4=04x+3y+5=0，解得x=−2y=1,∴点P的坐标为(−2,1)．(2)设所求直线为l，(ⅰ)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为xt+yt=1，则−2t+1t=1，解得t=−1，∴直线l的方程为x−1+y−1=1，即x+y+1=0；(ⅱ)当直线l在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为y=kx，则1=k×(−2)，解得k=−12，∴直线l的方程为y=−12x，即x+2y=0．综上，直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0．(3)(ⅰ)当直线l3与l1平行时，不能构成三角形，此时a×(−2)−2×1=0，解得a=−1；(ⅱ)当直线l3与l2平行时，不能构成三角形，此时a×3−2×4=0，解得a=83；(ⅲ)当直线l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时a×(−2)+2×1−6=0，解得a=−2．综上，当a≠−1，且a≠83，且a≠−2时，能构成三角形． 17.【详解】(1)取AC中点O，连结A1C，A1O，BO，由题意，在▵AA1C中，A1A=AC=2，∠A1AC=60°，所以▵AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC，因为底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以BO⊥AC，所以，∠A1OB为二面角A1−AC−B的平面角，在▵A1OB中，A1O= 3，BO=1，A1B=2，所以A1O2+OB2=A1B2，可得A1O⊥OB，所以∠A1OB=90°，所以，平面AA1C1C⊥平面ABC．(2)以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，B(1,0,0)，A10,0, 3，A(0,−1,0)，C(0,1,0)．所以AB=(1,1,0)，AA1=0,1, 3，由于E为棱A1B1中点，故A1E=12A1B1，所以OE=OA1+A1E=OA1+12A1B1=OA1+12AB=12,12, 3，CE=12,−12, 3，设平面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z)，所以n⋅AB=x+y=0n⋅AA1=y+ 3z=0，令z=1，n= 3,− 3,1，设直线CE与平面AA1B1B所成角为θ，则sinθ=cosn,CE=n,CEnCE= 3×12− 3×−12+ 3 7× 14+14+3=2 67，所以cosθ= 1−sin2θ=57，所以，直线CE与平面AA1B1B所成角的余弦值为57．   18.【详解】(1)存在点A(0,0)，使得a，b是KA(μ)定积直线，理由如下：由题意可得k⋅−13k=−13，由y=kx(k≠0)y=−13kx，解得x=0y=0,故存在点A(0,0)，使得a，b是KA(μ)定积直线，且μ=−13．(2)如图，设直线OM的斜率为λ(λ≠0)，则直线OP的斜率为1λ，直线PM的斜率为−2λ．依题意得λ⋅(−2λ)=−2x02，得λ2x02=1，即λx0=1或−1．直线OM的方程为y=λx，因为点Mx0,x02−3在直线OM上，所以x02−3=λx0．因为点M在第一象限，所以x02−3=λx0=1，解得x0=2或−2(舍去)，λ=12，M(2,1)，所以直线OP的方程为y=1λx=2x，直线PM的方程为y=−2λ(x−2)+1=−x+3，由y=2xy=−x+3，得x=1y=2，即点P的坐标为(1,2)．(3)设直线m:y−4=t(x+2)，直线n:y−4=−4t(x+2)，其中t≠0，则d1d2=|2t+4| 1+t2⋅|8−4t| t2+16=8t2−4 t2+16t2+1=8 t4−8t2+16t4+17t2+16=8 1−25t2t4+17t2+16=8 1−25t2+17+16t2，t2+17+16t2≥2 t2⋅16t2+17=25，当且仅当t2=16t2，即t2=4时，等号成立，所以0≤8 1−25t2+17+16t2<8，即0≤d1d2<8，故d1d2的取值范围为[0,8)． 19.【详解】(1)证明：根据题意可知AF//DE, AB//CD，因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF//平面DCE，同理，因为AB⊄平面DCE，DC⊂平面DCE，所以AB//平面DCE，又因为AF, AB是平面ABF内的两条相交直线，所以平面ABF//平面DCE，因为BF⊂平面。