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中值定理证明（多篇）推荐第3篇：考研数学 中值定理证明题技巧 为学生引路，为学员服务 2022考研数学 中值定理证明题技巧 在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考 一、中值定理证明题的特点 中值定理证明题主要有以下一些特点： 1.中值定理证明题常常需要作辅助函数； 2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理； 3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理； 4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。

二、中值定理证明题的常用方法 中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种： 1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质； 2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理； 3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明： 6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明 对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助最后预祝各位考研成功、金榜题名！ 推荐第4篇：微分中值定理的证明题[1] 微分中值定理的证明题 1.若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)=f(b)=0，证明："lÎR，$xÎ(a,b)使得：f¢(x)+lf(x)=0。

证：构造函数F(x)=f(x)elx，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， （a,b)，使F¢(x)=0 且F(a)=F(b)=0，由罗尔中值定理知：$xÎ 即：[f¢(x)+lf(x)]elx=0，而elx¹0，故f¢(x)+lf(x)=0 2.设a,b>0，证明：$xÎ(a,b)，使得aeb-bea=(1-x)ex(a-b) 1111 证：将上等式变形得：e-e=(1-x)ex(-) baba1x11b11a111111作辅助函数f(x)=xe，则f(x)在[,]上连续，在(,)内可导， baba 由拉格朗日定理得： 11f()-f()ba=f¢(1) 1Î(1,1) ， 11baxx-ba11b1a1e-e1a=(1-)ex 1Î(1,1) ， 即 b11baxx-ba 即： aeb-bea=(1-x)ex(a-b) xÎ(a,b) 3.设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1)=0，有F(x)=x2f(x)证明：在(0,1) 内至少存在一点x，使得：F¢¢(x)=0。

证：显然F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0)=F(1)=0，故由罗尔定理知：$x0Î(0,1)，使得F¢(x0)=0 又F¢(x)=2xf(x)+x2f¢(x)，故F¢(0)=0， 于是F¢(x)在[0，x0]上满足罗尔定理条件，故存在xÎ(0,x0)， 使得：F¢¢(x)=0，而xÎ(0,x0)Ì(0,1)，即证 4.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)=0，f(1)=1.证明： (1)在(0,1)内存在x，使得f(x)=1-x． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点z，h使得f/(z)f/(h)=1 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I） 令F(x)=f(x)-1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在xÎ(0,1), 使得F(x)=0，即f(x)=1-x.（II）在[0,x]和[x,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点hÎ(0,x),zÎ(x,1)，使得f¢(h)=于是，由问题（1）的结论有 f¢(h)f¢(z)=f(x)1-f(x)1-xx×=×=1.x1-xx1-xf(x)-f(0)f(1)-f(x)，f¢(z)= x-01-x5.设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)=f(2a)，证明在[0,a]上存在x使得 f(a+x)=f(x).【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

辅助函数可如下得到 f(a+x)=f(x)®f(a+x)-f(x)=0®f(a+x)-f(x)=0 【证明】令G(x)=f(a+x)-f(x)，xÎ[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且 G(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a) G(0)=f(a)-f(0) 当f(a)=f(0)时，取x=0，即有f(a+x)=f(x)； 当f(a)¹f(0)时，G(0)G(a)<0，由根的存在性定理知存在xÎ(0,a)使得，G(x)=0，即f(a+x)=f(x)． 6.若f(x)在[0,1]上可导，且当xÎ[0,1]时有00，F(1)=f(1)-1<0， \由零点定理可知：F(x)在(0,1)内至少存在一点x，使得F(x)=0，即：f(x)=x 唯一性：（反证法） 假设有两个点x1,x2Î(0,1)，且x1

试 2(x)=1 证至少存在一个xÎ(0，1)，使f¢分析：f'(x)=1Þf'(x)=1Þf(x)=xÞf(x)-x=0 令 F(x)= f(x)-x 证明： 令 F(x)= f(x)-x F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导， F(1)= f(1)-1=-1<0(Qf(1)=0) F(11111)= f()-=>0(Qf()=1) 222221由介值定理可知，$一个hÎ(，1)，使 2 F(h)=0 又 F(0)=f(0)-0=0 对F(x)在[0，1]上用Rolle定理，$一个xÎ(0，h)Ì(0，1)使 F'(x)=0 即 f'(x)=1 8.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)试证存在x和h.满足0a时，f(x)>k>0，则在(a,a-f(a))k内f(x)=0有唯一的实根 /解：因为f(x)>k>0，则f(x)在(a,a-f(a))上单调增加 kf(a)f(a)f/(x)/f(a-)=f(a)-f(x)=f(a)[1-]>0（中值定理） kkk而f(a)<0故在(a,a-f(a))内f(x)=0有唯一的实根 k1ì2t¹0ïtsin12.试问如下推论过程是否正确。

对函数f(t)=í在[0,x]上应用拉tït=0î0格朗日中值定理得： 1x2sin-0f(x)-f(0)111x==xsin=f¢x(=)x2si-nc(0s