高数第五版33泰勒公式.ppt

下页下页上页上页下页下页首页首页（如下图）（如下图）1.设f(x)在在x0处连续,则有有,一、问题的提出一、问题的提出2.设f(x)在在x0处可可导,则有有例如例如, 当当|x|很小很小时, 上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计误差不能估计寻找函数找函数P(x),使得使得f(x)≈P(x) 误差差R(x)=f(x)-P(x) 可估可估计设函数函数f(x)在含有在含有x0的开区的开区间(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)阶导数数,P(x)为多多项式函数式函数误差差 上页上页下页下页首页首页分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交Pn和和Rn的确定的确定上页上页下页下页首页首页假假设 得得 代入代入Pn(x)中得中得上页上页下页下页首页首页二、泰勒中值定理二、泰勒中值定理泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数f(x)在含有在含有x0的的某个开区间某个开区间(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)阶的导数阶的导数,则则当当x在在(a,b)内时内时,f(x)可以表示为可以表示为(x-x0)的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项Rn(x)之和之和:其中其中(ξ在x0与与x之间之间).上页上页下页下页首页首页证明证明:由假设由假设Rn(x)在在(a,b)内有直到内有直到(n+1)阶导数阶导数,且且函数函数Rn(x)和和(x-x0)n+1在以在以x0及及x为端点的区端点的区间上上满足足柯西中柯西中值定理的条件定理的条件,则(ξ1在在x0与与x之之间).上页上页下页下页首页首页两函数两函数R'n(x)及及(n+1)(x-x0)n在以在以x0及及为端点的区端点的区间上上满足柯西中足柯西中值定理的条件定理的条件,得得如此下去如此下去,经过(n+1)次后次后,得得 (ξ2在在x0与与ξ1之之间).(ξ在在x0与与ξn之之间,也在也在x0与与x之之间 ).上页上页下页下页首页首页称称为f(x)按按(x-x0)的的幂展开的展开的n次近似多次近似多项式式则由上式得由上式得称称为f(x)按按(x-x0)的的幂展开的展开的n阶泰勒公式泰勒公式 (ξ在在x0与与x之之间).上页上页下页下页首页首页拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项(ξ在在x0与与x之之间).上页上页下页下页首页首页注意注意: :1.当当n=0时,泰勒公式泰勒公式变成拉氏中成拉氏中值公式公式(ξ在在x0与与x之之间).取取x0=0 (ξ在在0与与x之之间)令令.上页上页下页下页首页首页泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：泰勒中值定理的产生：微微 分分皮皮亚亚诺诺余余项项的泰勒公式的泰勒公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉拉格格朗朗日日余余项项的泰勒公式的泰勒公式其它余项的泰勒公式其它余项的泰勒公式上页上页下页下页首页首页麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式上页上页下页下页首页首页解解f (n+1)(θx)=eθx 代入公式代入公式,得得三、简单的应用三、简单的应用例例1 求求 的的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.上页上页下页下页首页首页由公式可知由公式可知估计误差估计误差(设设x>0)其误差其误差当当n=10时时,11!=39916800,上页上页下页下页首页首页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式上页上页下页下页首页首页解解例例2 计算计算 .上页上页下页下页首页首页播放播放四、小结四、小结上页上页下页下页首页首页播放播放上页上页下页下页首页首页思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限上页上页下页下页首页首页思思考考题题解解答答上页上页下页下页首页首页练练 习习 题题练习题答案练习题答案上页上页首页首页。