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太原理工大学 硕士学位论文 强阻尼非线性热弹耦合杆系统的全局吸引子 姓名：李金峰 申请学位级别：硕士 专业：@ 指导教师：张建文 @ 太原理工大学硕士研究生学位论文 I 强阻尼非线性热弹耦合杆系统的全局吸引子 摘 要 近年来，由于数学自身的发展及物理，力学等学科的迅猛发展，非线 性发展方程的研究已成为偏微分方程研究领域中的重要课题之一其中热 弹性耦合杆、梁、板方程的研究是一个非常活跃的分支，受到了学术界的 高度重视然而，关于热弹性耦合方程的研究主要是证明解的存在性和唯 一性，对于这些解的全局吸引子存在性及其维数估计研究结果相对较少 本文以算子半群理论为依据，研究了如下的热弹耦合杆方程 (), 0 tttt tt uuuf u ug u αβ θ θγ θβ − ∆−∆ + ∇=+   − ∆+ ∇=  （1） 在初始条件 ()( )()( )()( ) 010 ,0,,0,,0, t u xuxuxuxxxxθθ===∈Ω （2） 及边界条件 |0 x u ∈∂Ω= |0 x θ ∈∂Ω= （3） 下，解的全局吸引子的存在性及其维数估计，其中(0, ) lΩ =， （0l ） ()(),,,uu x tx tθθ==是定义在[)0,Ω×+∞上的实值函数，分别表示在位移为x， 时间为t处对平衡位置的角位移和温度差。

具体研究内容如下： 第一、简单介绍了杆，梁方程在国内外的研究现状，及研究方向； 第二、给出了一些重要定义及引理，并对本文中的部分符号作了简单 太原理工大学硕士研究生学位论文 II 说明； 第三、运用算子半群的方法简单证明了系统（1）－（3）广义解，强 解，经典解的存在性，唯一性，并且说明了通过改善解所对应半群的解析 性，可以改变解的光滑性这一性质； 第四、以半群理论为依据，引入等价范数，证明了解半群全局吸引子 的存在性和维数估计； 第五、对今后热弹性耦合发展方程的研究作了某些展望 关键词：强阻尼，热弹耦合，杆系统，非线性，算子半群，全局吸引子 太原理工大学硕士研究生学位论文 III THE GLOBAL ATTRACTOR OF STRONGLY DAMPED NONLINEAR THERMOELASTIC COUPLED ROD SYSTEM ABSTRCT In recent years,as the development of mathematics and the rapid development of physics and mechanics,the study of nonlinear evolution equation has become one of the important issues in the partial differential equation research area.Especially, the study of the thermoelastic coupled rod ,beam and plane equations is a very active banch,which is focused by the academic researchers.However,the present results of the thermoelastic coupled equation are mainly about the existence and uniqueness of solutions,while the results of the global attractor existence and the dimension estimate are seldom.In this paper, we will make research about the global attractor existence and the dimension estimate of the thermoelastic coupled rod equation (), 0 tttt tt uuuf u ug u αβ θ θγ θβ − ∆−∆ + ∇=+   − ∆+ ∇=  (1) by means of operator semigroups theory ,under the initial conditions ()( )()( )()( ) 010 ,0,,0,,0, t u xuxuxuxxxxθθ===∈Ω (2) and the boundary conditions |0 x u ∈∂Ω= ， |0 x θ ∈∂Ω= (3) where(0, ) lΩ =，（0l）, ()(),,,uu x tx tθθ==are real functions defined on [)0,Ω×+∞,which represent angular displacement from equilibrium and temperature difference to the reference temperature at position x and time t,respectively. The details will go as follows: 太原理工大学硕士研究生学位论文 IV Firstly, the paper introduces the current domestic and international research situation and direction of the rod and beam equations briefly； Secondly, we put forward some important definitions and lemmas,and briefly explain some marks; Thirdly, we prove the existence and uniqueness of the weak solution,strong solution and classical solution for system (1)–(2) by means of the operator semigroups theory,and instruct the property that we can change the smoothness of solutions by changing the analyticity of the solution semigroups; Fourthly, we instruct the equivalent norm and prove the existence of the global attractor for solution semigroups and the dimension estimate; Fifthly, we make some prospects of the thermoelastic coupled evolution equation research in the future. KEY WORDS: strongly damped, thermoelastic coupled, rod system, nonlinear, operator semigroups, global attractor 太原理工大学硕士研究生学位论文 VII 符 号 说 明 ( , ) t u x t 函数( , )u x t对t求一阶偏导数 ( , ) tt ux t 函数( , )u x t对t求二阶偏导数 Q []0,QT= Ω×，其中T为大于0的常数 ( )mΩ Ω的Lebesgue测度 )(Ω m C Ω上 m 次连续可微函数全体 ( )D A 算子A的定义域 ( )D′ Ω ( )D Ω的对偶空间 )(Ω m H =Ω)( m H}{mLuDuH m ≤Ω∈=Ωα α ),(:)( 22, )( 0 Ω m H )( 0 Ω ∞ C在)(Ω m H中的闭包 ( , )⋅ ⋅ Hilbert空间)( 2 ΩL上的内积 (( , ))⋅ ⋅ 1 0( ) HΩ中的内积 ( , )H⋅ ⋅ Hilbert空间H上的内积 ⋅ 空间)( 2 ΩL中的范数 ⋅ 1 0( ) HΩ中的范数 H ⋅ Hilbert空间H中的范数 );, 0( 2 HTL 从[]0,T到Hilbert空间H的平方可积函数全体 );, 0(HTLp 从[]0,T到Hilbert空间H的 p L函数全体 E 表示( )( )( ) 122 0 HLLΩ ×Ω ×Ω 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 第一章 绪 论 1.1 杆、梁方程的研究现状 近年来，由于数学自身的发展及物理、力学等学科的迅猛发展，非线性发展方程的 研究已成为偏微分方程领域中的热点课题之一。

国内外许多学者也分别从不同的方向对 此类问题做过研究，并且已有不少成果 1973 年，Ball J M [1]在一维区间(0, ) l 上研究了非线性屈曲梁方程 22 0 (())0 l tt uukudxuβ+∆−+∇∆ = ∫ 的初边值问题，在简支条件下证明了系统的弱解、强解以及古典解的存在唯一性 1999 年，Zhou Shengfan [2]研究了 Dirichlet初边值条件下的强阻尼非线性波动方程 01 ( ,),0 ( ,0)( ),( ,0)( ), ( , )|0,0 tttt t x uuuf u ug t u xux u xu x x u x tt α ∈∈∂Ω − ∆−∆ =+  ==∈Ω   =  主要证明了全局吸引子Hausdorff维数上界的存在性和估计， 其中( , )uu x t=是[0,)Ω×+∞ 上的实值函数，Ω是 n R中具有光滑边界∂Ω的有界开集，0α 2000年，周盛凡 [3]研究了 Dirichlet初边值条件下强阻尼非线性波动方程 01 ( ),,0 ( ,0)( ),( ,0)( ), ( , )|0,0 ttt t x uuuf ug xt u xux u xu x x u x tt α ∈∈∂Ω − ∆−∆ =+∈Ω  ==∈Ω   =  主要证明了全局吸引子存在性并且得到了Hausdorff维数上界的估计。

1983年，Paul Massatt [4]研究了强阻尼非线性波动方程 ( , ,) tttt uAuAuf t u u++= 的解的存在性及其渐近行为，其中A是扇形算子，f关于t是周期的，并且f满足某种 正则性 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1980年，WEBB G F [5] 研究了非线性初边值问题 ( ),0 ( ,0)( ), ( ,0)( ), ( , )0,,0 ttt t wwwf w t w xx x w xx x w x txt α φ ψ − ∆−∆=  =∈Ω   =∈Ω   =∉∂Ω≥  的唯一整体强解的存在性，以及当t → +∞时的渐近行为其中Ω是 n R中具有光滑边界 的有界区域，n＝1，2，3，0α，并且 1( , ) fC R R∈， 0 ( )fxc′≤，xR∈, 0 0c ≥ 2009年，Giorgi C [6]等人研究了热弹性梁方程 2 2 2 (0,1) () tt L tt uuuuf ug θβ θθ  +∆+∆−+ ∇∆ =   −∆−∆=   的全局吸引子的存在性，其中系统的耗散完全由第二个方程给出 Ball J M [7]运用拓扑的方法研究了弹性梁方。