word第30练 双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)(2015·某某)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，假如A1B⊥A2C，如此该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·某某)如图，双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.点评 y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1〞用“0〞替换即可得出渐近线方程.(2)双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 (2014·某某改编)a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，如此C2的渐近线方程为______________________.题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)(2015·某某改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，如此如下命题正确的答案是________.①对任意的a，b，e1>e2；②当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2.(2)O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，假如(＋)·＝0，如此双曲线的离心率e为________.点评 e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意ex，y的X围问题.变式训练2 (2014·某某)如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.e1e2＝，且F2F4＝－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3 (2014·某某)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？假如存在，求出双曲线E的方程；假如不存在，请说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的X围.变式训练3 (2014·某某)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.假如点P(m,0)满足PA＝PB，如此该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，假如·<0，如此y0的取值X围是__________.2.(2015·某某模拟)0<θ<，如此双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，如此该双曲线的方程为______________.＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.－＝1(a>0，b>0)以与双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，如此双曲线－＝1的离心率为________.6.(2015·某某模拟)双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，假如F2H的中点M在双曲线C上，如此双曲线C的离心率为________.y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，如此该双曲线的方程为________________.C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，假如双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，如此双曲线C的离心率为________.F1，F2分别是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，假如点M在以线段F1F2为直径的圆外，如此双曲线离心率的取值X围是____________.－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，假如＝(＋)，如此双曲线的离心率是______.－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，假如＝，求△AOB的面积.12.(2015·某某模拟)双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)假如双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析例1 (1)±1解析 双曲线－＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求B，C，如此kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，如此有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.(2)解 ①设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－)．又直线OA的方程为y＝x，如此A(c，)，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.②由①知a＝，如此直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x＝的交点为N(，)．如此＝＝＝·.因为P(x0，y0)是C上一点，如此－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，即所求定值为＝＝.变式训练1x±y＝0解析 由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.例2 (1)④ (2)解析 (1)由题意e1＝ ＝ ；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝ ＝ .因为－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，所以当a>b时，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性质依次可得2>2,1＋2>1＋2，所以>，即e2>e1；同理，当ab时，e1e2.(2)如图，设OF的中点为T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴A，又A在直线y＝x上，∴a＝b，∴e＝.变式训练2解 (1)因为e1e2＝，所以 ·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝F2F4＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M(，)，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而PQ＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，如此点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.故四边形APBQ的面积S＝·PQ·2d＝＝2·.而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.例3解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)方法一 由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，假如直线l与双曲线E有且只有一个公共点，如此OC＝a，AB＝4a.又因为△OAB的面积为8，所以·OC·AB＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.假如存在满足条件的双曲线E，如此E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，如此C(－，0)．记A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1＝，同理，得y2＝.由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得|－|·|－|＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法二 由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－
