线性代数课件4-2相似矩阵与矩阵对角化.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二节 相似矩阵和矩阵对角化,本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法1,课件,相似矩阵的定义,定义3 已知矩阵,，,是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵,使得,则称 ，相似，记作,相似关系满足以下性质：,（1）自反性：；,（2）对称性：；,（3）传递性,：,2,课件,一些有用的定理,定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值证明：因为 相似，所以存在可逆阵 使得,3,课件,推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对角化,方阵 可对角化的判定条件,定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩阵 相似的充分必要条件是，有 个线性无关的特征向量4,课件,证明,假设存在可逆矩阵 ，使得,为对角阵 ，,设 ，则由,即,5,课件,于是,可见 ，是 的特征值，,向量 就是矩阵 关于特征值 的特征向量,反之，设 恰有 个特征值，并可对应 个特征向量 ，并且它们线性无关。

令 即是要找的相似变换定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法6,课件,定理5 如果矩阵 的特征值 ，则与它们对应的特征向量 和 线性无关,推论 若 阶方阵 有 个互异的特征值,则 可对角化，且,注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵,7,课件,定理6 设 是 的 个互异的特征值，是 的属于 的 个线性无关的特征向量，则,也线性无关定理6是说当 有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化8,课件,定理7 设 是 的一个 重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为 ，则,也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数定理8 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的每个 重特征值 对应有 个相形无关的特征向量即,9,课件,例题,例1 设 试问 可否对角,化？若能，求出相应的矩阵 解：由 可得 的特征值为,（二重）,求解特征向量，分别求解,10,课件,可得 对应的特征向量分别为,即 由三个线性无关的特征向量，从而由定理4，可以对角化令,11,课件,则有,若令,则也有,12,课件,但是若令,则应有,13,课件,例2 设 ，而,问 可否对角化？,解 因为,即 是 的 重特征值。

而由,知 ，即 的线性无关的特征向量的个数不超过 个，因此，由定理8知，不可以对角化14,课件,例3 设,（1）问 可否对角化？若能，求出相应的,，使得 为对角阵2）求 解 由,15,课件,显然 由两个不同的特征值1，2，所以,可以对角化当 时，解方程组,解得其基础解系为,当 时，解方程组,16,课件,解得其基础解系为,令,则有,17,课件,（2）当 较大时，直接计算 时不容易的，如果记,则由 ，可得,于是,18,课件,而因为,所以,19,课件,当 可对角化时，总是可以利用此方法来求 得高阶次幂20,课件,。