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12.3 等腰三角形复习等腰三角形复习怎样的三角形叫做等腰三角形？怎样的三角形叫做等腰三角形？有有______________的三角形叫做的三角形叫做_______________ABC腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角思考思考两条边相等两条边相等等腰三角形等腰三角形三角形 性质性质 判定判定 等腰等腰三角三角 形形1.等边对等角2.三线合一 1.等角对等边2.定义：两边相等的三角形是等要三角形 等边等边三角形三角形1.三边相等2.三个角相等，每个角60度1.有一个角是60度的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形 直角直角三角形三角形1.两个锐角互余2.两直角边互相垂直30度角所对的直角边等于斜边的一半有一个角是直角的三角形是直角三角形练习题１ＡＢＣＤ　如图，在　如图，在△△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ，ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ，∠∠ＢＡＤ＝２６ＢＡＤ＝２６°，求，求∠∠Ｂ和Ｂ和∠∠Ｃ的度数．Ｃ的度数．等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（（等边等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三（等腰三角形三线合一）角形三线合一）例例1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，，且且∠∠B=80° ，，则则∠∠C=——度，度，∠∠A=——度？度？∵∵AB=AC（（已知）已知）∴∠∴∠B=∠∠C（（等边对等角）等边对等角）∵∠∵∠B=80° （（已知）已知）∴∠∴∠C=80°又又∵∠∵∠A+∠∠B+∠∠C=180° （（三角形内角和为三角形内角和为180° ））∴∠∴∠A=180°－－ ∠∠B－－∠∠C　　∠∠A=20°BCA等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）操练操练操练操练1 1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，，且且∠∠ A=50° ，，则则∠∠B=——度，度，∠∠C=——度？度？CBA∵∵AB=AC（（已知）已知）∴∠∴∠B=∠∠C（（等边对等角）等边对等角）又又∵∠∵∠A+∠∠B+∠∠C=180° （（三角形内角和为三角形内角和为180° ））　　∠∠A=50° （（已知）已知）∴∠∴∠B=65° ∠∠C=65°等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）操练操练操练操练2 2 在等腰三角形在等腰三角形ABC中，如果中，如果AB=AC，，且一个角等于且一个角等于70° ，求另两个角的度数。

求另两个角的度数若顶角即若顶角即∠∠A=70° 则则∠∠B=55 ° ∠∠C=55 °若底角即若底角即∠∠B=70° 则则∠∠C=70° ∠∠A=40°若底角即若底角即∠∠C=70° 则则∠∠B=70° ∠∠A=40°在在等腰三角形中，等腰三角形中，我们只要知道任我们只要知道任一个角，就可以一个角，就可以求出另外两个角！求出另外两个角！CBA若改为若改为90°呢？呢？趣味数学趣味数学：： 如图：点如图：点B、、C、、D、、E、、F在在∠∠MAN的边的边上，上， ∠∠A=15°，，AB=BC=CD＝＝DE=EF，，求求∠∠ MEF的度数ABCDEFMNABCDE 已知在等腰三角形已知在等腰三角形ABC中，中，A=36° ，，B=72° ，，C=72° ，，请同学请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？吗？只要将做只要将做∠∠ B的角平分线即可！的角平分线即可！只要再做只要再做∠∠ BDE的角平分线即可！的角平分线即可！以下步骤重复下去即可！以下步骤重复下去即可！等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）例例2 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD ⊥⊥BC，，已知已知BD=2cm,求求DC=___cm, BC=___cm？？CBDA1 2∵∵AD ⊥⊥BC（（已知）已知）∴∴BD=CD（（等腰三角等腰三角形的高与底边上的中形的高与底边上的中线重合）线重合） 即（等腰三角形三线即（等腰三角形三线合一）合一）∵∵BD=2cm（（已知）已知）∴∴CD=2cmCBDA1 2等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）例例3 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD ⊥⊥BC，，已知已知∠∠ 1=20°,求求∠∠ 2=_____度度∠∠ A=______度度？？∵∵AD ⊥⊥BC（（已知）已知）∴∴ ∠∠ 1= ∠∠ 2 （（等腰三等腰三角形的高与顶角的平角形的高与顶角的平分线重合）分线重合） 即（等腰三角形三线即（等腰三角形三线合一）合一）∵∵ ∠∠ 1=20° （（已知）已知）∴∴ ∠∠ A=40°等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）操练操练操练操练3 3 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC=5cm，，AD=4cm,且且BD=CD，求点，求点A到线段到线段BC的距的距离。

离CBDA1 2∵∵AB=AC（（已知）已知）∴△∴△ABC是等腰三角形是等腰三角形∵∵BD=CD（（已知）已知）∴∴BD⊥⊥CD（（等腰三角等腰三角形三线合一）形三线合一）∴∴线段线段AD的长度的长度就是点就是点A到线段到线段BC的距离的距离即为即为4 cm等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边（等边对等角）对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）一休学数学一休学数学 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，，且且 要证要证∠∠1=∠∠2，如何去证？，如何去证？这道题因被墨水遮去了这道题因被墨水遮去了一个条件，一休无从下手，一个条件，一休无从下手，现在请同学们帮一休补现在请同学们帮一休补上这个条件，使一休上这个条件，使一休能做出这道题能做出这道题CBDA1 2怎么怎么办？办？1、知：如图，、知：如图， △△ ABC中，中， ∠∠ABC=50 º, ∠∠ACB=80 º,延长延长CB至至D,使使BD=BA,延长延长BC至至E,使使CE=CA .连结连结AD、、AE.求求∠∠D、、∠∠E、、∠∠DAE的度数的度数 .ABCDEABCDO2、如图，直线AB平行直线CD，AD交BC于O，且AO=BO。

求证：(1)∠C=∠D(2)OC=ODABCD3、如图，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠DBC= ∠AE4、在Rt △△ ABC中，∠ACB=90°，D、E在斜边AB上，且AC=AE，BD=BC，求∠DCE的度数ACDEB探究一请动手画一个等腰三角形，并画出底边中点到两腰的距离，猜猜这两条距离有什么关系？你能用所学的知识解释吗？可将等腰三角形△ABC沿对称轴AD折叠DE=DF等腰三角形底边中点到两腰的距离探究二 ①如果DE、DF分别是AB、AC上的中线，此时还有DE=DF吗？等腰三角形底边中点到两腰（中点）的距离相等②如果DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的角平分线，此时还有DE=DF吗？如图， △△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E求证：BD=CEABCED3 3、性质的应用（例题评讲）、性质的应用（例题评讲）四、教学过程四、教学过程例三：例三：　　　　　　在△ABC中，点D在BC上，给出4个条件：①AB=AC ②∠BAD=∠BAC ③AD⊥BC ④BD=CD，以其中2个条件作题设，另外２个条件作结论，可写出几个正确命题？（分组讨论抢答）ADBC3 3、性质的应用（例题评讲）、性质的应用（例题评讲）四、教学过程四、教学过程 评析：此题是一道探究性试题，让学评析：此题是一道探究性试题，让学生能够大胆地猜想并证明自己的猜想，培生能够大胆地猜想并证明自己的猜想，培养学生分析问题和解决问题的能力，此题养学生分析问题和解决问题的能力，此题结果中结果中①② ③④ ①② ③④ 运用等腰三角形的运用等腰三角形的““三三①③ ②④ ①③ ②④ 线合一线合一””性质性质①④ ②③①④ ②③②③ ①④ ②③ ①④ 运用全等三角形的判定运用全等三角形的判定②④ ①③ ②④ ①③ 和性质（不能运用和性质（不能运用““三线三线合合③④ ①② ③④ ①② 一一” ” ））４、巩固提高４、巩固提高四、教学过程四、教学过程　（（1 1）等腰三角形一腰上的高与另一）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰的夹角为30°30°，则这个等腰三角形，则这个等腰三角形顶角为顶角为 度。

度　　C　　B ＡＡD　　C　　B ＡＡD４、巩固提高４、巩固提高四、教学过程四、教学过程　　(2)．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根ＥＥGOFHMBA练习第一题已知，如图，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于Ｄ，求证：∠ＢＡＣ＝２∠ＤＢＣ　ＡＢＣＤ发散思考：此题是否可以通过加倍∠ＣＢＤ，另作∠ＦＢＤ＝∠ＣＢＤ？　已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ点在ＡＢ上，Ｅ点在ＡＣ的延　　　长线上，且ＢＤ＝ＣＥ，连结ＤＥ，交ＢＣ于Ｆ求证：ＤＦ＝ＥＦＡＢＣ　ＥＤＦ发散思考：发散思考：如果把已知中的ＢＤ＝ＣＥ与结论如果把已知中的ＢＤ＝ＣＥ与结论ＤＦ＝ＥＦ互换，而其它条件不变，ＤＦ＝ＥＦ互换，而其它条件不变，那此题是否成立？那此题是否成立？ 练习５书Ｐ１５０第１１题如图，△ＡＢＤ和△ＡＥＣ都是等边三角形．求证：ＢＥ＝ＤＣＡＡＢＢＣＣＥＥＤＤ方法：证明方法：证明DC和和BE所在的三角形全等所在的三角形全等3.直角三角形性质的应用例5如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰ＡＢ上的高．求ＣＤ的长．ＡＡＢＢＣＣＤＤ练习６如图，是房梁的一部分，其中ＢＣ⊥ＡＣ，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝７.４，点Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ，垂足为Ｅ，求ＢＣ，ＤＥ的长．ＡＡＢＢＣＣＤＤＥＥ30°在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．练习7ＡＡＢＢＣＣＥＥＦＦ30°30°30°90°１.在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ∥ＢＣ．写出图中所有的等腰三角形．ＡＡＢＢＣＣＥＥＦＦＯＯ如图，ＡＡＢＢＣＣＥＥＦＦＯＯ.在在△△ＡＢＣ中，ＡＢＣ中，∠∠ＡＢＣ和ＡＢＣ和∠∠ＡＣＢ的ＡＣＢ的平分线交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ平分线交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ∥∥ＢＣ，ＢＣ，ＡＢ＝６，ＡＣ＝５．求：ＡＢ＝６，ＡＣ＝５．求：△△ＡＥＦ的周长ＡＥＦ的周长已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。

求证：DE⊥DCDABCEABCEDABCE图1F已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：延长DE交BC边于F点（证明略）DABCENF图2已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过C点做AB的平行线，交DE的延长线于N点（证明略）DABCEGF图3已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过B点做AC的平行线，交DE的延长线于G点（证明略）DABCEQ图4已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过B点做DE的平行线，交CA的延长线于Q点（证明略）DABCE图5R已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。

求证：DE⊥DC证明：过C点做DE的平行线，交BA的延长线于R点（证明略）FDBCAEO已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过D点做BC的延长线，交CA的延长线于O点，并延长DE交BC于F点（证明略）DABCEP图6已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过A点做BC的平行线，交DE于P点（证明略）DABCEFK图7已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：证明：过过E点做点做BC的平的平行线，交行线，交AB于于K点，并延长点，并延长DE交交BC于于F点点（证明略）（证明略）DABCEMF图8 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。

求证：DE⊥DC证明：过E点做AB的平行线，交BC于M点，并延长DE交BC于F点（证明略）DABCEF FH图9已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过D点做AC的平行线，交BC的延长线于H点，并延长DE交BC于F点（证明略）DABCEFR图10已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE求证：DE⊥DC证明：过A点做DE的平行线，交BC于R点，并延长DE交BC于F点（证明略）图中AR这条线段的引出可以看成是：1、过A点做DE的平行线2、过A点做BC的垂线3、∠BAC的角平分线4、BC边的中线DABCEABCEABCEDBCEADDDABCEDABCE除了第一种辅助线的作法外，大部分同学能发现其余的辅助线都是作了AB的平行线，AC的平形线，BC的平行线和DE的平行线，再见再见。