3第三章 力系的简化和平衡.doc

理 论 力 学 教 案25第三章 力系的简化和平衡引言一、力系分类1.汇交力系: 空间平行力系和平面汇交力系2. 一般力系：平面一般力系、空间一般力系3.平行力系平面平行力系和空间平行力系二、物体受力计算路径研究物体受力情况作用在物体上的一组复杂力系 简化及合成物体受力结果§3.1 力线平移定理力线的平移定理：作用在刚体上 点的力 可平移到任意 点，但必须附OFO加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力 对新作F用点 和矩且O(d 是力偶臂)dMO力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法注：力线平移定理只能适应于静定刚体证明：如 图所示FbO O′dFO O′a cO O′F)(M图中：力 F 作用于刚体上 O 点；在刚上 处加上一对平衡力( )，且' F,根据加减平衡力系原理：（ ） ，中（ ）等值反向 F,不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶附加力偶距失FMdO理 论 力 学 教 案26§3.2 力系的简化、主矢与主矩一、力系的简化在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。

在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化如图所示：空间力系( , ,… )，O 点为任取的简化中心1F2nxyzOMRyz1FnF2BACOxyz21nFO M1. 根据力线平移定理，将力系中各力 , ,… 平移到 O 点作用于 O 点的12m空间汇力系( , ,… )及附加力偶系( , ,… )1'2'n' 1M2n， ,… 1'F2'nF'1O22… nOnFM2.将以上两个力系分别合成 FFRnn  2121OMiOnOOM21:原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中的无关R理 论 力 学 教 案27:原力系的主矩，空间力系中各力对简化中心 O 点的矩的矢量和OM与简化中心有关总结：空间一般力系向刚体内任意一点 O 简化，可得一个力与一个力偶，这个力作用于简化中心，为原力系主矢 ，这个力偶矩失等于原力系的主矩iFRiOFM二、主矢 R 及主矩 的计算O以简化中心为原点，建立直角坐标系， 和 表示 及原力zyxR,' iiZYX,'R系中任一意力 在坐标轴上的投影，以 表示坐标轴 x,y,z 的单位矢量。

iFkji,kRjRzyx'''ZYiXii'∴ ix' iy' izZR'结论：力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中力在同一坐标轴上投影的代数主矢的大小及方向 222)()()(' iii ZYXR','cosRxi''yi','csZzi同理： 表示主矩 在 x.y.z 轴上的投影zyxM,O表示原力中任意力对三轴的矩iziyixFF,kjzyxOkFMji ziOyiOxOi kFjMFiziyix理 论 力 学 教 案28∴ iiixYzZyFMiiiyy xXiiizz y表示力 作用点的坐标iiyx,iF结论：主矩 在坐标轴上的投影等于各力对同一轴之矩的代数和OM222zyxOO,cosyOzM,cs举例：利用力系向一点简化的方法，分析固定端约束反力 ARA AiFAXYAM§3.3 简化结果分析空间一般力系向任意一点简化→主矢 R 及主矩 M，根据 R 及主矩 M 不同的方向，简化的结果有以下四种情况出现：一、R=0 及主矩 M≠0这种情况说明作用于简化中心的 ， … 的合力为零，而各力的附加'1F'2'n力偶不等于零，简化结果为一力偶矩失，且这个力偶矩失的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即 。

iOM结论：原力系与一个力偶等效，力系合力偶，其力偶矩失等于主矩，此时，主矩与简化中心无关二、R≠0 及主矩 M=0 理 论 力 学 教 案29这说明原力系与一个力等效，R就是原力系的合力，且合力作用线通过简化中心三、R≠0 及主矩 M≠0 1. 力系可进一步简化为一个合力 R(简化中心 )Mo' 'OOR ROdRabc（1）b 图中 用 来表示，且OMR, （2） 是一对平衡力，根据加减平衡力系公理减去这对平衡力得 c 图R,'2. ∥ 简化结果为:力螺旋'O实例：螺钉，钻孔时领头所需的切割阻力等3. 与 相交，简化结果必然为一个力螺旋'ROMR ROMOM dbca（1）图 b 将 分解成平行于 的 及垂直于 的OM'Ro''Ro"cos'sin"OM ROM理 论 力 学 教 案30（2） 与 互相垂直，根据情况（1） ， 与 可简化为一个作用于oM"'RoM"'R点的力 'O（3）矩失为 的力偶可在平面任意转移(力偶性质)，将 平移至 点得' o''O图 c ∥ ，根据情况（2） ，力系简化为一个力螺旋。

'一、R=0 及主矩 M=0这说明原力系平衡作用于简化中心 O 的力系 ， … 的合力为零，'1F'2'n附加力偶系 , … 的合力偶也为零1M2n总结：根据力系的 与 不同，力系具有以下四种简化结果：'Ro（1） 力系简化为一个合力， , ,0'ROMOR'（2） 力系简化为一个合力偶，其矩等于 , , 0'（3）力系简化为一个力螺旋， , , ∥ 或 与 相交'O'o'M（4） 力系为平衡力系， ,0'R§3.4 力系的平衡、平衡方程与应用一、基本力系与平衡1. 基本力系：汇交力系和力偶系2.平衡：平衡的充分与必要条件是 ，0'RMo二、平衡方程1. 汇交力系（1）平面汇交力系：两个未知量，两个独立方程 ， 0XY（2）空间汇交力系：三个未知量，三个独立方程 ， ，0Z2. 一般力系（1）平面一般力系：三个未知量，三个独立方程 ， ，0XY另外还有 2 矩式及 3 矩式方程0Mo（2）空间一般力系平衡方程：六个未知量，六个独立方程 ，理 论 力 学 教 案31， ， ， ， 0YZ0xMy0zM3.平行力系（1）平面平行力系设力系平行于 Y 轴，两个未知量，两个独立方程 。

0YO（2）空间平行力系设力系平行于 Z 轴，三个未知量，三个独立方程 ， ，Z0xM0yM总结：力系 平衡方程数 能解未知数空间一般力系 6 6空间汇交力系 3 3空间平行力系 3 3平面一般力系 3 3平面汇交力系 2 2平面平行力系 2 2三、静定与静不定问题静定：指未知的约束反力，数目等于独立的平衡方程数目静不定：指未知的约束反力数目多于独立的平衡方程数目四、平衡方程应用例 1：如图 2-3 所示，曲柄压机，已知力 ，kNF3、 mm、 mm、求压块对地面的压力和 AB 杆所受的力BCA20H150LABFAFd1A B CDFh1 a xyD F BABCFbcxyCBxFB eBCCFcy理 论 力 学 教 案32解：1) 首先研究 BD 杆，受力如图 2-3(b)0X0cossBCBAFYini2)以压块 C 为研究对象，受力如图 2-3（C）0X0cosBCxFYiny连解方程组得 kNCy5.12) 解析法：(适应于多力汇交平衡)(1) 简化 FR根据合力投影规律： XYZR222XRcosYRZcs(2) 平衡： 00XRY0ZR0XY0Z若力系为平面汇交力系，则： Y例 2： 如图 2-4 所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求 AB、BC 杆的内力。

解：不计轮的尺寸，则可看成 B 点的受力为汇交力，AB 和 BC 杆件为二力杆，以轮 B 为研究对象，则 B 受力如图 2-4c图 2-3理 论 力 学 教 案330X06cos60cosBCBAFPY3ini压FBA231拉PBC例 3：两轮 A 和 B，各重为 ， ，杆 AB 为 L，连接两轮，可自由PA2B地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆 AB 与水平线的夹角解：1) 先研究轮 A，进行受力分析0X0cos90cosABTNYininAP得： sicotBT2) 再研究轮 BcPBCFBAxy60°A BCD 60°30°aP BbBCBFCCF'CABFA'C图 2-4AP2PBθ NA2P TABTBA NBPA Bθ xyxy图 2-4理 论 力 学 教 案340X0cossBABTNYiniBP得： sicotanBBAT又所以： cosin32ta理 论 力 学 教 案35例 1：如图所示，起重机水平梁 AB，A、B、C 三处用铰链固定，梁 AB 自重,重物 ，梁 AB 长 6 米，KNP0kQ10重物距 B 端 2 米。

求：拉杆 BC 的拉力和铰链 A 的约束反力解：1) 选取 AB 梁与重物一起为研究对象2) 画受力图3) 列平衡方程此题为平面一般力系，有三个平衡方程，解三个未知量0X3cosTAY 03cosQPTYA0AM20in6kNT3.17kNXA1.5kNYA3.5分析：1)此处也可用 0B 0236QPYAA1.AMkT37XA NXA2.5以上平衡方程中，有二个力矩方程和一个投影方程，称为二矩式条件：AB 两点连成不能与投影轴垂直，即另一方程不能用 这样就排除0Y了力系简化为一个合力的可能证明：（略）2) 本题也可用以下方程来求解，称为三矩式0AM0B0CM条件：A、B、C 三点不共线，目的同样是排除力系简化为一个合力的可能BACQPXAYAT23理 论 力 学 教 案36证明：（略）结论：尽管平面任意力系的平衡方程形式不只一种，但不论选用哪一种形式的平衡方程，对于同一平面力系来说，最多只能提出三个独立的方程，因而最多的只能求出三个未知量例 2：质量 ㎏的均质梁，10mA 为光滑铰支座，通过绳索拉住B 端，梁 AB 上有载荷重量的均布载，若绳能承kNq5.2受的最大张力是 800N，试确定均布载荷的最大作用长度 b 及此情况下，A 处的约反力。

解：1) 取梁为研究对象，进行受力分析2) 当 b 为最大时， NT8021NP981.103) 列出平衡方程0AM6sin512Tpbq mb63.2X06cos1TA XA40Yin2 kNY.（二）物体系统平衡物系：几个物体通过约束连起来的机构物系平衡的求解方法：(1) 先研究整体，求出 1-2 个未知数，再研究局部2) 先折开研究局部，再研究整体例 1：如图所示结构， ， ，mAB2.1C6.0，求 A、B 处反力NP45解： 1) 先研究整体。