立体几何专题方法.doc

1二面角问题的求解方法二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法1 1 概念法概念法:顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题例 1：如图所示，在四面体中，,,求二面角的大小ABCD1ACAB2CDBD3AD ABCD解：设线段的中点是，接和根据已知的条件，，可以BCEAEDE1ACAB2CDBD知道且又是平面和平面的交线AEBCDEBCBCABCDBC根据定义，可以得出：即为二面角的平面角AEDABCD可以求出，，并且根据余弦定理知：3 2AE 3DE 3AD 即二面角的大小为2222223()( 3)372cos243232AEDEADAEDAEDE ABCD7arccos4同样，例 2 也是用概念法直接解决问题的例 2：如图所示，是正方形，，，求二面角的大小ABCDPBABCD 平面1PBABAPDC2解：作辅助线于点，连接、CEPDEACAE由于，，所以由于，ADCDPAPCPADPCD三角形三角形AEPDCEPD所以即为所求的二面角的大小。

AEC通过计算可以得到：，，又，在三角形中可以计算得到由2PC 3PD 1CD PCD6 3CE 此可以得到：，又6 3AECE2AC 由余弦定理： 即：222222133cos22223AECEACAECAEAC 2 3AEC2 2 空间变换法空间变换法: :空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法下面用例 3 介绍三垂线法、补角法和垂面法例 3：如图所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内DEFC求二面角的大小FDEC分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点CCADECBB2.12.1 补角法补角法: :直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角因FDECCDEB为二面角与二面角是互补的关系，现在先求出二面角后，二面角FDECCDEBCDEB的大小就很容易计算了FDEC2.22.2 三垂线法三垂线法: :由于，平面那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影CADECB CA垂直于两平面的交线即且，根据定义可知，二面角的大小即为ABDEACDEABDECDEB的大小。

那么二面角的大小可以用补角法得到CABFDEC2.32.3 切平面法切平面法: :切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容3易观察与计算二面角如图 4 所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面CABDECAB的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，ACCABABCAB根据补角法，可以求出二面角的大小FDEC下面用例 4 来详细讲解一下切平面法例 4： 在图中，，是的中点，PAABC 平面90oABC1PAAB2PBBCEPC求二面角的大小DEPCCBDE解：由于是的中点，且是等腰三角形，那么EPCPBCBDPC又，可以推出：DEPCPCBDE 平面PCBD又，则，所以可以得出：是和PAABC 平面BDPABDPAC 平面PAC平面CBD平面的公共切平面由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角EBD平面CDE由于，那么：，CDECPA V12 3233CECDCPCA13133CEDEPACA 又：22111221222CEPCBPBC在三角形中根据余弦定理可知：CDE22241211333cos4223 2 32333CDDECECDECD DE那么。

即求二面角的大小是60oCDECBDE60o2.42.4 补形法补形法: :以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，通过例子讲解——补形法例 5：在图 6 中，，四边形是一个直角梯形，其中，PAABCD 平面ABCD1PA 4，，求平面与平面所成二面角的大小1AD 1CD 1 2AB 90BADADC PADPBC解：延长直线与，它们相交于点，连接DABCEPE由题意可知，平行于，的长度是的一半，且，，那么BACDABCDBAADBAPA，，，BAPED 平面CDPED 平面1AE 2PE 在三角形中，，那么根据勾股定理可知，即PED2PDPE2EDAEAD90DPEDPPE，，且是在平面内的射影，根据三垂线定理知：CDPED 平面DPPEDPCPPEDCPPE又，即即为所求的二面角DPPECPD在中，，，Rt CDP1CD 2PD 3PC 6cos3CPD即：6arccos3CPD所以平面与平面所成二面角的大小是PADPBC6arccos3在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。

在例 5 中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的4.44.4 另类方法另类方法: :比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法4.4.14.4.1 四面体体积法四面体体积法例 8：如图 9 所示，在空间四面体中，四面体的所有棱长都是 1，求二面角的大ABCDABDC小5图 9分析：过点作辅助线平面于点，过点作辅助线于点，连接直线，AAO BCDOAAEBDEEO，由于四面体是一个正四面体,即为所求二面角 （也可以推导AEOsinAO AEABCDAEO出当四面体不是正四面体时同样是所求的二面角）AEO正四面体的棱长是 1，可以求出正四面体的体积是ABCDABCD2 12()2sin1 333BCD BCDABD A BCDBCDAOSBDAEAESSVAOSBDBD根据已知条件可知：，， 2 12A BCDV1BD 3 4ABDBCDSS可以求出：，即：2 2sin32 2arcsin3当四面体不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共ABCD边的长度就可以解出二面角的大小了。

4.4.24.4.2 角度法角度法例 9：如图 10 所示，以点为顶点的三条射线分别是、、，其中、的夹角是，AABACADABAD1、的夹角是，、的夹角是现在要求二面角的大小ABAC2ACAD3CABD6图 10分析：现在设，并且（由于、、的长度没有给出，这样的假设是合理CBABDBABABACAD可行的） ，那么即为所求二面角的大小CBD根据已知条件可以得到：， , ， 1tanBDAB1cosABAD2tanBCAB2cosABAC又, 将、带入得到：222 32cosCDACADACAD1cosABAD2cosABAC223 22 12122cos11()coscoscoscosCDAB 在三角形中, BCD222 cos2BCBDCDCBDBCBD222223 1222 1212 2 122cos11tantan()coscoscoscos2tantanABABABAB 223 1222 1212122cos11(tan)(tan)coscoscoscos 2tantan 即：312122cos1 1coscos 2tantan   31212coscoscos coscos 31212coscoscosarccoscoscosCBD 通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。

74.4.34.4.3 面积射影法面积射影法例 10：如图 11 所示，在空间直角坐标系中，点、、分别在、、、轴上，现在要OXYZABCXYZ求二面角的大小OABC图 11分析：作并且与相交于点根据三垂线定理可知：即：CDABCDABDODODAB即为所求二面角CDO在中，CAB1 2CABSCDABOAB1 2OABSODABcosODCD是在平面内的射影由以上的条件可以得到：OABCABXOY1 2cos1 2OABCABODABODS SCDCDAB  即：（其中是在平面内的射影 ）arccosarccosOABCABODS SCDOABCABXOY用另外一种简便语言表示就是：arccosSS三角形射影三角形。