全国中考数学压轴题分类解析汇编专题05定值问题.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -专题 5：定值问题21. （ 2021 江西南昌 8 分） 如图，已知二次函数 L1： y=x ﹣ 4x+3 与 x 轴交于 A． B 两点（点A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C．（1）写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；2（2）争论二次函数 L2：y=kx ﹣ 4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质；②如直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点，问线段 EF的长度是否发生变化？假如不会，恳求出 EF 的长度；假如会，请说明理由．2【答案】 解：（ 1）∵抛物线 y x24x 3 x 2 1，∴二次函数 L1 的开口向上，对称轴是直线 x=2 ，顶点坐标（ 2，﹣ 1）；（ 2）①二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质：对称轴为 x=2；都经过 A（1， 0）， B（ 3， 0）两点；②线段 EF的长度不会发生变化；∵直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点，2 2∴kx ﹣ 4kx+3k=8k ，∵ k≠0，∴x ﹣ 4x+3=8；解得： x1=﹣ 1， x2=5；∴EF=x2﹣ x 1=6；∴线段 EF 的长度不会发生变化；【考点】 二次函数综合题，二次函数的性质；【分析】（ 1）抛物线 y=ax2+bx+c 中： a 的值打算了抛物线的开口方向， a＞ 0 时，抛物线的开口向上； a＜ 0 时，抛物线的开口向下；抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解；（ 2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以 k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析； 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -②联立直线和抛物线 L2 的解析式，先求出点 E、F 的坐标，从而可表示出 EF 的长，如该长度为定值，就线段 EF的长不会发生变化；2. （ 2021 江苏苏州 9 分） 如图，正方形 ABCD的边 AD与矩形 EFGH的边 FG重合，将正方形 ABCD以 1cm/s 的速度沿 FG方向移动，移动开头前点 A 与点 F 重合 . 在移动过程中，边 AD始终与边 FG重合，连接 CG，过点 A 作 CG的平行线交线段 GH于点 P，连接 PD.已知正方形 ABCD的边长为 1cm， 矩形 EFGH的边 FG、GH的长分别为 4cm、3cm. 设正方形移动时间为 x（ s ），线段 GP的长为 y （cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值；⑵记△ DGP的面积为 S1，△ CDG的面积为 S2．试说明 S1－ S2 是常数；⑶当线段 PD所在直线与正方形 ABCD的对角线 AC垂直时，求线段 PD的长 .【答案】 解：（ 1）∵ CG∥AP，∴∠ CGD∠= PAG，就 tan CGD=tan PAG ；∴ CD= PG ；∵GF=4， CD=DA=，1 AF=x，∴ GD=3－ x， AG=4－ x；GD AG∴ 1 =y ，即y= 4 x；∴y 关于 x 的函数关系式为y= 4 x ；3 x 4 x当 y =3 时， 3= 4 x3 x3 x 3 x，解得 :x=2.5 ；（ 2 ）∵ S = 1GP GD=1 4 x 3 x1 x+2 ，S = 1GD CD= 13 x 11 x+ 3 ，1 22 2 3 x 2 2 2 2 2∴ S S =1 x+21 x+3 1 为常数；1 2 2 2 2 2 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 3）延长 PD交 AC于点 Q.∵正方形 ABCD中， AC为对角线，∴∠ CAD=4°5 ；∵PQ⊥AC，∴∠ ADQ=4°5 ；∴∠ GDP∠= ADQ=4°5 ；∴△ DGP是等腰直角三角形，就 GD=G；P∴ 3 x= 4 x3 x，化简得： x 25x+5=0 ，解得： x= 5 5 ；2∵0≤x≤2.5 ，∴x= 5 5 ；2在 Rt△DGP中，PD= GD= 2 3 x = 2 35 5 =2+ 10 ；cos450 2 2【考点】 正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值；【分析】（ 1）依据题意表示出 AG、GD的长度，再由 tan CGD=tan PAG 可解出 x 的值；（2）利用（ 1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可；（3）延长 PD交 AC于点 Q，然后判定△ DGP是等腰直角三角形， 从而结合 x 的范畴得出 x 的值，在 Rt△DGP中，解直角三角形可得出 PD的长度；3. （ 2021 山东潍坊 11 分）如图， 已知抛物线与坐标轴分别交于 A〔 －2，O〕、B〔2 ，0〕 、C〔0 ，－l〕 三点，过坐标原点 O的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D〔0 ，－ 2〕 作平行于 x 轴的直线l1 、 l 2 ．(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以 ON为直径的圆与直线l1 相切；(3) 求线段 MN的长 〔 用 k 表示 〕 ，并证明 M、N 两点到直线l2 的距离之和等于线段 MN的长． 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax ＋ bx＋ c ，14a 2b+c=0就 4a+2b+c=0 c= 1a=4解得 b=0 ；c= 1∴抛物线对应二次函数的解析式 所以y= 1 x 2 1；4（ 2）设 M〔x1， y1〕 ， N〔x 2， y 2〕 ，由于点 M、N在抛物线上，∴ 1 21 2 2y1= x1 1，y 2 = x 2 1 ，∴x2 =4〔y 2+1〕 ；4 42又∵ ON2 2x 2 y24 y221 y 2y2 22，∴ ON y 2 2 ；又∵y2≥－ l ，∴ ON=2＋ y2；设 ON的中点 E，分别过点 N、E 向直线l1 作垂线，垂足为 P、F， 就 EFOC NP 22 y2 ，2∴ON=2E，F即 ON的中点到直线l1 的距离等于 ON长度的一半，∴以 ON为直径的圆与l1 相切；（ 3 ） 过 点 M 作 MH⊥NP 交 NP 于 点 H ， 就2 2 2MN MH NH2x 2 x12y 2 y1 ，2 2 2 2 2又∵y1=kx 1， y 2=kx2，∴（ y2－ y1〕2=k〔x 2－ x1〕 ；∴ MN=〔1+k 〕〔x 2 一 xl 〕 ；又∵点 M、N既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，∴ kx=1 x 21 ，即 x － 4kx－ 4=0，∴x ＋ x=4k，x·x=－ 4；242 2 2 22 1 2 12 2 2∴MN=〔1+k 〕〔x 2 一 x l 〕 =〔1+k 〕 =16〔1+k〕 ；∴ MN=4〔1+k 〕 ；延长 NP交 l 2 于点 Q，过点 M作 MS⊥ l2 交 l 2 于点 S，就 MS＋ NQ=y1＋2＋ y 2＋ 2= 1 x 2 1 21 1+ x 21+44 4= 1 x 2 +x 2 +2= 1 x +x 2 2x x +2= 116k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1+k 21 2 1 2 1 24 4 4∴MS+NQ=M，N即 M、N两点到l2 距离之和等于线段 MN的长；【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法， 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理；【分析】（ 1）依据点在曲线上， 点的坐标满意方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式；（2）要证以 ON为直径的圆与直线l1 相切， 只要证 ON的中点到直线l1 的距离等于 ON长的一半即可；（3）运用一元二次方程根与系数的关系， 求出 MN和 M、N两点到直线l 2 的距离之和，相比较即可；4. （ 2021 浙江义乌 12 分） 如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线 y=4 x2 + 22 x 交于点 A（ 3，6）．（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度；27 3（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O不重合），交直线 OA于点 Q，再过点 Q作直线 PM的垂线，交 y 轴于点 N．摸索究：线段 QM与线段 QN的长度之比是否为定值？假如是，求出这个定值；假如不是，说明理由；（3）如图 2，如点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 段 OA上（与点 O、A 不重合），点 D（ m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满意∠ BAE=∠BED=∠AOD．连续探究： m在什么范畴时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、 2 个？。