【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案).pdf

第 27 章相似专项训练专训 1证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换构造平行线法1如图，在ABC中， D为 AB的中点， DF交 AC于点 E，交 BC的延长线于点 F，求证： AE CF BFEC.( 第 1 题) 2如图，已知ABC的边 AB上有一点D，边 BC的延长线上有一点E，且 ADCE ，DE交 AC于点 F，试证明： AB DF BC EF.( 第 2 题) 三点找三角形相似法3如图，在 ?ABCD中， E 是 AB延长线上的一点，DE交 BC于 F. 求证：DCAECFAD. ( 第 3 题) 4如图，在ABC中， BAC 90， M为 BC的中点， DM BC交 CA的延长线于 D，交 AB于 E. 求证： AM2MD ME.( 第 4 题) 构造相似三角形法5如图，在等边三角形ABC中，点P 是 BC边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC于点 M ，N. 求证： BP CP BM CN.( 第 5 题) 等比过渡法6如图，在ABC中， ABAC ， DE BC ，点 F 在边 AC上， DF与 BE相交于点 G，且 EDF ABE. 求证： (1) DEF BDE ；(2)DGDF DB EF.( 第 6 题) 7如图， CE是 RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作 BG AP于点 G ，交 CE于点 D. 求证： CE2DE PE.( 第 7 题) 两次相似法8如图，在RtABC中， AD是斜边BC 上的高， ABC的平分线BE 交 AC于 E，交 AD于 F. 求证：BFBEABBC. ( 第 8 题) 9如图，在 ?ABCD中， AM BC ， AN CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1) AMB AND ；(2)AMABMNAC. ( 第 9 题) 等积代换法10如图，在ABC中， AD BC于 D，DE AB于 E，DF AC于 F. 求证：AEAFACAB. ( 第 10 题 ) 等线段代换法11如图，等腰ABC中， ABAC ，AD BC于点 D，点 P 是 AD上一点， CFAB ，延长 BP交 AC于点 E，交 CF于点 F，求证： BP2PEPF.( 第 11 题 ) 12已知：如图，AD平分 BAC ，AD 的垂直平分线EP交 BC 的延长线于点P. 求证： PD2PBPC.( 第 12 题 ) 专训 2巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法相似三角形的四类结构图：1. 平行线型2相交线型3子母型4旋转型平行线型1如图，在ABC中， BE平分 ABC交 AC于点 E，过点E 作 EDBC交 AB于点 D. (1) 求证： AEBC BD AC ；(2) 如果 S ADE3，S BDE2，DE 6，求 BC的长( 第 1 题) 相交线型2如图，点D，E分别为 ABC的边 AC，AB上的点， BD ，CE交于点 O，且EOBODOCO，试问 ADE与 ABC相似吗？请说明理由( 第 2 题) 子母型3如图，在ABC中， BAC 90， AD BC于点 D，E 为 AC 的中点， ED的延长线交AB的延长线于点F. 求证：ABACDFAF. ( 第 3 题) 旋转型4如图，已知DAB EAC ， ADE ABC. 求证： (1) ADE ABC ；(2)ADAEBDCE. ( 第 4 题) 专训 3利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一由角的关系推出 “平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等 ”是判断数量关系的常用方法证明两线段的数量关系类型 1：证明两线段的相等关系1如图，已知在ABC中， DE BC ，BE与 CD交于点 O，直线 AO与 BC边交于点 M ，与 DE交于点N. 求证： BM MC. ( 第 1 题) 2如图，一直线和ABC的边 AB ，AC分别交于点D，E，和 BC的延长线交于点 F，且 AECE BFCF. 求证： AD DB. ( 第 2 题) 类型 2：证明两线段的倍分关系3如图，在ABC中， BD AC于点 D，CE AB于点 E， A60，求证：DE 12BC. ( 第 3 题) 4如图， AM为 ABC的角平分线，D为 AB的中点， CE AB，CE交 DM的延长线于 E. 求证： AC 2CE. ( 第 4 题) 证明两线段的位置关系类型 1：证明两线段平行5如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD ，DECD ，DE CD ，连接 CE ，AE.求证： AE BC. ( 第 5 题) 6在 ABC中， D，E，F 分别为BC ，AB，AC上的点， EF BC ，DF AB，连接 CE和 AD ，分别交DF ，EF于点 N，M. (1) 如图，若E 为 AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图，若E 不为 AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明( 第 6 题) 类型 2：证明两线垂直7如图，在ABC中， D 是 AB上一点，且AC2ABAD ，BC2BA BD ，求证： CD AB. ( 第 7 题) 8如图，已知矩形ABCD ，AD13AB ，点 E，F 把 AB 三等分， DF交 AC于点G，求证： EG DF. ( 第 8 题) 专训 4相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答相似三角形与一次函数1如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x3 与 x 轴交于点C，与直线 AD交于点 A43，53，点 D的坐标为 (0 ，1) (1) 求直线 AD的解析式；(2) 直线 AD与 x 轴交于点B，若点 E 是直线 AD上一动点 ( 不与点 B 重合 )，当 BOD与 BCE相似时，求点E 的坐标( 第 1 题) 相似三角形与二次函数2如图，直线y x3交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线yax2bxc 经过 A，B，C(1，0) 三点(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点 D的坐标为 ( 1，0) ，在直线y x3上有一点 P，使 ABO与ADP相似，求出点P的坐标( 第 2 题) 3如图，直线y2x2 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，把 AOB沿 y轴翻折，点A落到点 C，过点 B的抛物线y x2bx c 与直线 BC交于点 D(3，4) (1) 求直线 BD和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由( 第 3 题) 相似三角形与反比例函数4如图，矩形OABC 的顶点 A，C分别在 x 轴和 y 轴上，点B 的坐标为 (2 ，3) ，双曲线ykx(x0) 经过 BC的中点 D，且与 AB交于点 E，连接DE. (1) 求 k 的值及点E的坐标；(2) 若点 F 是 OC边上一点，且FBC DEB ，求直线FB 对应的函数解析式( 第 4 题) 专训 5全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点其主要考点可概括为： 3 个概念、 2 个性质、 1 个判定、 2 个应用、 1 个作图、 1 个技巧3 个概念概念 1：成比例线段1下列各组线段，是成比例线段的是( ) A3 cm，6 cm，7 cm， 9 cmB2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD1 cm，2 cm，3 cm， 4 cm2有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ，在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是_m . 概念 2：相似多边形3如图，已知11， 2 2， 3 3， 4 4，D D，试判断四边形ABC D 与四边形ABCD 是否相似，并说明理由( 第 3 题) 概念 3：位似图形4如图，在ABC中， A，B两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是 ( 1，0) 以点 C为位似中心，在x 轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边放大到原来的2 倍，记所得的像是ABC.设点B 的对应点B的坐标是(a ，b) ，求点 B 的坐标( 第 4 题) 2 个性质性质 1：平行线分线段成比例的性质5如图，在RtABC中， A90， AB 8，AC6. 若动点D 从点 B 出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2 个单位长度过点D作 DE BC交 AC于点 E，设动点D运动的时间为x 秒， AE的长为 y. (1) 求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当 x 为何值时，BDE的面积有最大值，最大值为多少？( 第 5 题) 性质 2：相似三角形的性质6如图，已知D是 BC边上的中点，且AD AC ，DE BC ，DE与 BA相交于点E，EC与 AD相交于点F. (1) 求证： ABC FCD ；(2) 若 S FCD5，BC 10，求 DE的长( 第 6 题) 1 个判定 相似三角形的判定7如图， ACB为等腰直角三角形，点D 为斜边AB上一点，连接CD ，DECD ，DE CD ，连接 AE，过 C作 CO AB于 O.求证： ACE OCD. ( 第 7 题) 8. 如图，在 O的内接 ABC中， ACB 90， AC2BC ，过点 C作 AB的垂线 l 交 O于另一点D，垂足为点E.设 P是上异于点A，C 的一个动点，射线AP交 l 于点 F，连接 PC与 PD ， PD交 AB于点 G. (1) 求证： PAC PDF ；(2) 若 AB 5，求PD的长( 第 8 题) 2 个应用应用 1：测高的应用9如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为 2 m ，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2 m ，那么这棵树的高度是多少？( 第 9 题) 应用 2：测宽的应用10如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度( 第 10 题 ) 1 个作图 作一个图形的位似图形11如图，在方格纸中( 每个小方格的边长都是1个单位长度 ) 有一点 O和ABC.请以点O 为位似中心，把ABC 缩小为原来的一半( 不改变方向 ) ，画出ABC的位似图形( 第 11 题 ) 1 个技巧 证明四条线段成比例的技巧12如图，已知ABC ， BAC的平分线与DAC的平分线分别交BC及 BC的延长线于点P，Q. (1) 求 PAQ的度数；(2) 若点 M为 PQ的中点，求证：PM2CM BM.( 第 12 题 ) 答案专训 1( 第 1 题) 1证明： 如图，过点C 作 CM AB交 DF于点 M. CM AB， CMF BDF. BFCFBDCM. 又 CM AD ， ADE CME.AEECADCM. D为 AB的中点，BDCMADCM. BFCFAEEC，即 AE CF BFEC.2证明： 过点 D作。