2020年高考数学(理)客观题重难点分层专题突破三角恒等变换与解三角形考点精讲答案解析(10页).pdf

2020 年高考数学 (理)客观题重难点分层专题突破三角恒等变换与解三角形考点精讲抓牢常考点 解三角形及其应用1正、余弦定理的常用变形正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A；abcsin Asin Bsin C2R余弦定理cos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab2三角形的面积公式(1)SABC12absin C12bcsin A12acsin B.(2)SABCabc4R(R为其外接圆半径 )(3)SABC12(abc)r(r 为其内切圆半径 )一、利用正余弦定理解三角形问题典例（1）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c2a，bsin Basin A12asin C，则 sin B 的值为 ()A.74B.34C.73D.13【解析】 选 A由 bsin Basin A12asin C，且 c2a，得 b2a，cos Ba2c2b22aca24a22a24a234，sin B134274.（2）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则 ABC 的面积为 ()A.12B.14C1 D2【解析】 选 A由 cos 2Asin A，得 12sin2Asin A，解得 sin A12(负值舍去)，由 bc2，可得 ABC 的面积 S12bcsin A1221212.（3）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.【解析】 法一：由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，因此 cos B12.又 0B ，所以 B3.法二： 由 2bcos Bacos Cccos A 及余弦定理，得2ba2c2b22acaa2b2c22abcb2c2a22bc，整理得， a2c2b2ac，所以 2accos Bac0，cos B12.又 0B ，所以 B3.【答案】3（4）如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B，C 两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为 _ m/s( 精确到 0.1)参考数据：21.414, 52.236.【解析】因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为30，45，所以 BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则 BC14v，在RtADB 中 ABADcosBADADcos 60200.在 RtADC 中，ACADcosCAD100cos 45100 2.在ABC 中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC ABcosBAC，所以 (14v)2(100 2)220022100 2200cos 135，所以v50 10722.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.【答案】 22.6 解题方略 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“ 三统一” ，即“ 统一角、统一函数、统一结构” 二、拿下重难点 三角形中的范围 (或最值 )问题任何范围问题， 其本质都是函数问题， 三角形的范围或最值 问题也不例外 .三角形中的范围或最值 问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解 .由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法.考法(一)与边或角有关的范围 (最值)问题典例(1)在ABC中，a，b，c 分别为三个内角A，B，C 的对边，且 BC边上的高为36a，则cbbc取得最大值时，内角A 的值为 ()A.2B.6C.23D.3解析利用等面积法可得，12 a36a12 b csin A，整理得a22 3bcsin A cbbcc2b2bca22bccos Abc2 3sin A2cos A4sin A6， 当 A62时，cbbc取得最大值，此时A3.答案D(2)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是_解析法一：如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则E30，又 BC2，所以 BE1cos 7562.设 ADx,0 x2，在ADE 中， ADE45，由正弦定理，得 AEADsinADEsinE2x，所以 ABBEAE 622x，所以 AB 的取值范围为 ( 62，62)法二： 连接 AC，设 BAC ，则ACB105 ，在 ABC 中，由正弦定理得ABsin 105 BCsin ，所以AB 2sin 105 sin 6 22cos 622sin sin 6221tan 622.因为 75，105 75，所以 30 75，所以13tan 23，所以 231tan 3，进一步可得 AB 的取值范围为( 62，62)答案(62，62)解题方略 三角形中范围问题的解决方法求解某个量 (式子)的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有：要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域 )找完善，避免结果的范围过大针对训练 1若满足条件 AB3，C3的三角形 ABC 有两个，则边长 BC 的取值范围是()A(1，2) B( 2， 3)C( 3，2) D( 2，2)【解析】 选 C设 BCa，C3，AB3，由正弦定理ABsin CBCsin A，得332asin A， sin Aa2.由题意得，当 A3，23且 A2时，满足条件的 ABC有两个，32a21，解得3a2，则边长 BC 的取值范围是 ( 3，2)2在 ABC 中， ACB60，BC1，ACAB12，当 ABC的周长最短时， BC 的长是_【解析】 设 ACb，ABc，BCa，ABC 的周长为 l，由 bc12，得 labca2c12.又 cos 60a2b2c22ab12，即 aba2b2c2，得 a c12a2 c122c2，即 ca212a14a1.la2c12a2a2a12a1123 a1243a1 12a1123 a1 12 a143123 2a1 12 a14312，当且仅当 a112 a1时， ABC的周长最短，此时 a122，即 BC 的长是 122.【答案】 122考法(二)与面积有关的范围 (或最值)问题典例(1)在ABC中，a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边，bc 且sin Bsin A1cos Bcos A，若点 O 是ABC 外一点， AOB (0)，OA2，OB1，则平面四边形 OACB 面积的最大值是 ()A.85 34B.45 34C3 D.4 52解析由 bc，得 BC.由sin Bsin A1cos Bcos A，得 sin Bcos Asin Asin Acos B，所以 sin Asin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，所以 AC，所以 ABC是等边三角形在OAB中，由余弦定理得c22212221cos 54cos ，所以 S四边形OACBSOABSABC1221sin 34c2sin 34(54cos )sin 3cos 5 342sin 35 34，所以(S四边形OACB)max85 34.答案A(2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin Asin B13sin C,3b2a,2a2ac18，设 ABC 的面积为 S，p2aS，则 p 的最大值是 ()A.5 29B.7 29C. 2 D.9 28解析在ABC 中，由 sin Asin B13sin C 结合正弦定理可得， c3a3b，再根据 3b2a,2a2ac18，可得 ac,1a3，由余弦定理可得b24a29a2a22a acos B? cos B79，可得 sin B4 29，所以 S12acsin B2 29a2，故 p2aS2a2 29a2，根据二次函数的图象可得，当a94时，p 取得最大值9 28.答案D解题方略 求解三角形中面积的范围(或最值 )问题的方法一般要由题目已知条件(三角恒等关系式、边角大小等)结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围针对训练 1已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan A43，a4，则ABC的面积的最大值为 ()A4 B6C8 D12【解析】 选 C因为 tan A43，所以sin Acos A43.又 sin2Acos2A1，所以 cos2A925，解得 cos A35或 cos A35(舍去)，故 sin A45.又 16b2c22bc352bc65bc，所以 bc20，当且仅当 bc2 5时取等号，故ABC的面积的最大值为1220458.2已知 ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 4Sa2(bc)2，bc8，则 S的最大值为 _【解析】 由题意得， 412bcsin Aa2b2c22bc，又 a2b2c22bccos A，代入上式得，2bcsin A2bccos A2bc，即 sin Acos A1，2sin A41，又 0A ，4A454，A434，A2，S12bcsin A12bc，又 bc82 bc，当且仅当 bc 时取“”，bc16，S的最大值为 8.【答案】 8。