空间向量与立体几何测试题答案.docx

空间向量与立体几何测试题一、选择题1若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向 量的终点构成的图形是答案：AA. 一个圆 E.一个点 C.半圆 D.平行四边形2 .在长方体ABCD - A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达中错误的一个是（A. AAWA1 BAu'A1 D1B. AB ■ DD1 - D1C1C. AD CC1 ■ D1C13 .若a, b,c为任意向量,A.1D. i （AB1 ■ CD1） - A1C1 2卜列等式不一定成立的是（R，B.(a -,-b)- c =a c b-cC.D.4. 若三点A, B, C共线，A. 1 B. -15. 设 a = (x,4,3), b = (3,2,m(a -,-b) =ma -,-mb(a- b)- c =a (b-c)为空间任意一点，且PA ::叱PB二一 为C.X2z）,且a〃 则xz等于（b ）A. -4 B. C.J9已知非零向量eb e2不共线，如果abA, B, C, D（ C ） 一定A.共圆^ e,AC2=2e 2 -8 e2，AD =3 e,3 e?,则四点B. 恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面7.如图1,空间四边形ABC D的四条边及对角线 F, G分别是AB, AD, 长都是a ,点E,的中点，贝U a2等于（IA. 2BA- ACC. 2FG・CAIB. 2ADBDD. 2EF-CB右 a 2e ,' 3e b 1 e- 2e 3d =e1 ^ 2 e2 ^ d 二 xa' y b ' ZC，则 X, y,A. 5 3e3, B. 522=5)12 ,1z的值分别为（C. -52D.9若向量 a = (1,八2)与b = (2, _1,2)的夹角的余弦值为C. _2或三5510.已知ABC D为平行四边形，且A(4,1,3), B(2, _5,1,A. 2B. 2D. 2 或—55C (3, 7, 5),则顶点D的坐标为(d )A. _,4,「1B・(2,4,)C. (/, 4,)D. (5,3, _3)〃在正方体 ABCD -A1B1C1D1中,A. 60 °B. 90 °0为AC, BD的交点,护CC. arccos ——3C10与AD所成角的(羽D. arccos 612.给出下列命题：①已知 a I b，贝 y a (b ^ c)^ c- (b _a) = b- c ； M ,② A, B,N为空间四点，若BA, BM , BN不构成空间的一个基底，那么A,B, M , N共面;③ 已知a 1_b，贝U a,④ 若a, b共线，，翊a, 正确的结论的个数为(A. 1 B. 2二、填空题13.已知 a =(3,1,5), bb与任何向量都不构成空间的一个基底； b所在直线或者平行或者重合.C)C. 3D. 4=(1,2, _3),向量c与z轴垂直，且满足ca = 9, c b = _4，则c =答案：三,-21,0/I5 5 J14.已知a B, c三点不共线，0为平面ABC外一点，若由向量OP1 -OA•— OB5■ OC确定的点P与A, B, C共面，那么・15.已知线段AB —面：， BC :-,答案： . □ :15CD BC , DF —面：.于点ZD CF=30且D, A在平面？的同侧，若AB =BC =CD=2，则AD的长为2 .216.在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中,线B1C和C1D所成角的余弦值为B1C和C’D与底面所成的角分别为 . 答案：逻460 °和45 ° ,则异面直三、解答题17 .设 a ’=2 i—j+Kj -2K a=_2i + j -3 , 4a =3 i 七数…、 ..，使a4Wa 1 h“a2・a3成立？如果存在，求出证明.答案：解：假设a a「la/：P：a3成立j 5，试同是否存在实；如果不存在，请写出4-引=(2,■」-2;，-’ 3 J—1,1)a2=(1,3, —2), a3=(—2,,— 3), a4=(3,2,5), : (2.；■ — 2-3、.)=(3, 2, 5).2 ■」-2i =3,:-乙「3」*■ = -2,=2,解得 〃=1,，-2 ■ I - 3 '：= 5,=-3.所以存在 i = -2,」=1, v = -3 使得 a4 - -2a 1 ^ a2 - 3a3 .18如图2,正二棱柱abc「ABC的底面边长为a， 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则侧棱长为2 a，求AC与侧面ABB.A所成的角.A(0,0,0), B(0, a,0), A (0,0,2a), C由于n = (_1,0,0)是面ABBA的法向量,J3AC /n 2cos ' AC1 , nAC11——:AC 1, n 二 60故AC1与侧面ABB 1 A1所成的角为30 ° .19.如图3,直三棱柱ABC - A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，D , E分 别是8£90与刷糊的中点，2,点E平面ABD上的射影是△ ABD的重心G，求 点A1到平面解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA =2aAED的距离.则 A(2 a, 0, 0), B(0,2a, 0), D(0, 0,1, A,2 a, 0, 2), E(a ,a, 1,—a a从而GEr ‘ 3B D =(0, _2a, 1).GE BD =• GE • BD =0，得 a =1 ,A (2,0,2), A(2,0,0), E (1,1,1).A作A1H —面AED于M,并延长交xOy面于H，设 H (x, y,0),,AH =(x -2, y,一 2).AD =(-2,0,1),AE =( _1, 1, 1).A1H _ AD , A1H _ AE-2( x -2) -2 =0, ]-(x _2) +y _2 =0H (1,1 ,0).n>3在A M = At A • cos fA A AM) = A A • cos(AA A H=2 4 2 62、6cd上的动点，且PQ二存2 ,,20.已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2, P, Q分别是bc从而 QB, =( J2 _(2 _t)2, -2,2) , PD,=(二,2 _t,2),由 QB,_PD,二QB「PD,=0 ,-2 2 _(2 _t)2 -2(2 -t) 4 =0= t =，.P, Q分别为 BC，CD 的中点时，QB」PD,.2,.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中，.ABC =90 ° , SA 面 ABC D ,E\M4,0,2SA =AB =BC =’，AD，求面SC D与面SBA所成二面角的正切 2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，，贝U A(0, 0, 0), B( J,0, 0), C ( _1, 1,0), D 10, ,0 , S(0,0,1).I 2 J延长CD交x轴于点F，易得F (1,0,0),作AE SF于点E，连结D E ,皿DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角. 又由又由于aF且 AA %SA得AF，得那么EA；01 ——1 12 , ED 二从而cos EAEA - EDEA ED因此 tan EAF, ED =一故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -AB,C,D,的底面ABC D是菱形，且C,CB = . C,CD = BCD ,试问:C d当 的值为多少时，A,C —面C,BD ?请予以证明.CC1 , ,解：欲使AC _面GBD，只须AC _C,D，且AC _CB .欲证 A,C _C,D，只须证 CACD =0 ,即(C A - AA1)' (C D —CC,) =0也就是(CD CB - CC1)'(CD _CC,) =0 ,-CB CCcos. CCB =0 .即 CD | |cc’|--|cB CD cos /BCD由于―CCB =• BCD ,显然，当CD =CC， 时，上式成立； 同理可得，当CD 〃'时，AC _CB .CD因此当寸1时， AC面GBD。