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第七章第七章 椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算大地线大地线将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算 大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式 12 21．地球椭球的定义及其几何意义； 2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3．各种测量坐标系统之间的相互转换； 4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法[知识点及学习要求知识点及学习要求][难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。

各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算 3 37-17-1地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）（了解）（了解）（了解）椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b b椭圆的扁率：椭圆的扁率： 五个基本几何参数五个基本几何参数 椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率： 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率：： a、、b称为长度元素称为长度元素扁率反映了椭球体的扁扁率反映了椭球体的扁平程度平程度 e′和和e反映椭球体的扁平程反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈度，偏心率越大，椭球愈扁扁 4 4n n决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a a或或或或b b）。

n n为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：注注 意意式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数第二基本纬度函数5 50.00673949674220.00673949674227 70.0067395018190.0067395018194734730.0067385254140.006738525414683683e’2e’20.00669437990130.00669437990130.0066943849990.0066943849995885880.0066934216220.006693421622966966e2e21/298.2572235631/298.2572235631/298.2571/298.2571/298.31/298.36399593.62586399593.62586399596.6519886399596.651988010501056399698.9017826399698.90178271107110c c6356752.31426356752.31426356755.2881576356755.288157528752876356863.0187736356863.01877304730473b b637813763781376378140637814063782456378245a aWGS-84WGS-84系椭球系椭球系椭球系椭球19751975国际椭球国际椭球国际椭球国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球 我国所采用的的我国所采用的的19541954年北京坐标系应用的是克年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的拉索夫斯基椭球参数；以后采用的19801980国家大地坐国家大地坐标系应用的是标系应用的是19751975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPSGPS应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。

系椭球参数 6 6 7 78 87-27-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系（重点）（重点）n n Ø大地坐标系、大地坐标系、Ø空间直角坐标系空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）（大地测量中两种基本坐标系）Ø子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系Ø大地极坐标系大地极坐标系 9 91）大地坐标系）大地坐标系 P点的子午面点的子午面NPS与起始子与起始子午面午面NGS所构成的二面角所构成的二面角叫做叫做P点点大地经度大地经度，，P点的点的法线法线Pn与赤道面的夹角与赤道面的夹角B叫叫P点的点的大地纬度大地纬度，，P点的位点的位置用置用L、、B表示表示 P若若P点不在椭球面上，还要点不在椭球面上，还要一个参数：一个参数：大地高大地高H来表示来表示点位它与正常高及正高的点位它与正常高及正高的关系为：关系为：10102）空间直角坐标系）空间直角坐标系 以椭球中心以椭球中心O为原点，起为原点，起始子午面与赤道面交线为始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与轴，在赤道面上与X轴轴正交的方向为正交的方向为Y轴，椭球轴，椭球体的旋转轴为体的旋转轴为Z轴，构成轴，构成右手坐标系右手坐标系O-XYZ，在，在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置点的位置用用X、、Y、、Z表示表示 11113）子午面直角坐标系）子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过，在过P点的子午面上点的子午面上，以子午圈椭圆中心，以子午圈椭圆中心为原点，建立为原点，建立x，，y平平面直角坐标系。

在该面直角坐标系在该坐标系中，坐标系中，P点的位置点的位置用用L，，x，，y表示表示 12124）大地极坐标系）大地极坐标系 M为椭圆体面上任意为椭圆体面上任意一点，一点，MN为过为过M点的子点的子午线，午线，S为连结为连结MP的大的大地线长，地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位角以点的大地方位角以M为极点、为极点、MN为极轴、为极轴、S为极径、为极径、A为极角，就构为极角，就构成了大地极坐标系成了大地极坐标系P点点位置用位置用S、、A表示 椭球面上的极坐标（椭球面上的极坐标（S、、A）与大地坐标（）与大地坐标（L、、B））可以互相换算，这种换算叫大地主题解算可以互相换算，这种换算叫大地主题解算13132、各种坐标系间的关系、各种坐标系间的关系 n n1 1）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系 过过p p 点作法线点作法线PnPn，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过点作子，过点作子午圈的切线午圈的切线TP，它与，它与x 轴轴的夹角为（的夹角为（90°+90°+B））------该该角的正切值为曲线在角的正切值为曲线在P P点处点处切线的斜率切线的斜率. .1414设设Pn=N，则有：，则有：一个有用的结论推导：一个有用的结论推导：15152）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系16163）空间直角坐标系与大地坐标系的关系）空间直角坐标系与大地坐标系的关系 X XY Y当当P P点位于椭球面上时：点位于椭球面上时：1717当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：1818 几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：n n法截面：法截面：法截面：法截面：过椭球面上任意一点可作过椭球面上任意一点可作过椭球面上任意一点可作过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法垂直于椭球面的法线，包含这条法垂直于椭球面的法线，包含这条法垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。

线的平面就叫法截面线的平面就叫法截面线的平面就叫法截面n n法截线（法截弧）法截线（法截弧）法截线（法截弧）法截线（法截弧）：法截面与椭球：法截面与椭球：法截面与椭球：法截面与椭球面的交线面的交线面的交线面的交线n n卯酉圈：卯酉圈：卯酉圈：卯酉圈：过某点法线的无数个法截过某点法线的无数个法截过某点法线的无数个法截过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同面中，与子午面相垂直的法截面同面中，与子午面相垂直的法截面同面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯椭球面相截形成的闭合圈就称为卯椭球面相截形成的闭合圈就称为卯椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径（重点）（重点）1919n n1、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径M M M M小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径a a a aM M M M随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大M M M M等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径B=0B=0B=0B=0（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）0 0 0 0＜＜＜＜B B B B＜＜＜＜90909090B=90B=90B=90B=90（在极点处）（在极点处）（在极点处）（在极点处）说说说说 明明明明M M M MB B B B202021212、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N=cN=cN=cN=cN N N N90909090=c=c=c=cB=90B=90B=90B=900 0 0 0N N N N随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大a a a a＜＜＜＜N N N N＜＜＜＜c c c c0 0 0 00 0 0 0

因因因因卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈也也也也垂垂垂垂直直直直于于于于子子子子午午午午面面面面，，，，故故故故PTPTPTPT也也也也是是是是卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈在在在在P P P P点点点点处处处处的的的的切切切切线线线线，，，，即即即即PTPTPTPT垂垂垂垂直直直直于于于于PnPnPnPn所所所所以以以以PTPTPTPT是是是是平平平平行行行行圈圈圈圈PHKPHKPHKPHK及及及及卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈在在在在P P P P点处的公切线点处的公切线点处的公切线点处的公切线n n麦麦麦麦尼尼尼尼尔尔尔尔定定定定理理理理：：：：假假假假设设设设通通通通过过过过曲曲曲曲面面面面上上上上一一一一点点点点引引引引两两两两条条条条截截截截弧弧弧弧，，，，一一一一条条条条为为为为法法法法截截截截弧弧弧弧、、、、一一一一条条条条为为为为斜斜斜斜截截截截弧弧弧弧，，，，且且且且在在在在该该该该点点点点上上上上这这这这两两两两条条条条截截截截弧弧弧弧具具具具有有有有公公公公共共共共切切切切线线线线，，，，这这这这时时时时斜斜斜斜截截截截弧弧弧弧在在在在该该该该点点点点的的的的曲曲曲曲率率率率半半半半径径径径等等等等于于于于法法法法截截截截弧弧弧弧的的的的曲曲曲曲率率率率半半半半径径径径乘乘乘乘以以以以两两两两截截截截弧弧弧弧平平平平面面面面夹夹夹夹角角角角的的的的余余余余弦弦弦弦。

又又又又因因因因为为为为平平平平行行行行圈圈圈圈平平平平面面面面与与与与卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈平平平平面面面面之之之之间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角即即即即为为为为大大大大地地地地纬纬纬纬度度度度B B B B，所以有：，所以有：，所以有：，所以有：平行圈半径平行圈半径r就等于就等于P点的横坐标点的横坐标x（子午面（子午面直角坐标系），即：直角坐标系），即：23233 3、任意法截弧的曲率半径、任意法截弧的曲率半径当当A=0°或或180°时时，，RA的的值值最最小小，，此此时时R0=M（（子子午午曲曲率率半半径径））当当A=90°或或270°时时，，RA的的值值最最大大，，此此时时R90=N（（卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径））；；当当A由由0°→→90°时时，，RA之之值值由由M→→N；；当当A由由90°→→180°时时，，RA之之值值由由N→→MRA值值的的变变化化是是以以90°为为周周期且与子午圈和卯酉圈对称的期且与子午圈和卯酉圈对称的24244 4、平均曲率半径、平均曲率半径M、、N、、R的关系：的关系：N>R >M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径径c，即：，即： 由于由于R RA A的数值随方位的数值随方位A A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径就要推求该球面的曲率半径----平均曲率半径平均曲率半径[ [就是过椭球面上一点的一切法截就是过椭球面上一点的一切法截弧弧(0—2π(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用就称为平均曲率半径，用R R表示表示] ]。

25257.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算将积分因子按二项式定理展开为级数形式将积分因子按二项式定理展开为级数形式将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数 26262727 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标子午面直角坐标x：：如果平行圈上有两点，其如果平行圈上有两点，其经经差差 ，可写出平行圈弧长公式：可写出平行圈弧长公式： 28281.1.923923 29.876 29.87626.80226.80221.90221.90215.50015.5008.0288.0280.0000.0001.1.36m36m1792.541792.541608.131608.131314.141314.14930.02930.02481.71481.710.000.00111321m111321m10755210755296488964887884878848558015580128902289020 030.71630.71630.73830.73830.79530.79530.87330.87330.95130.95131.00731.00731.02731.0271842.941842.941844.261844.261847.711847.711852.391852.391857.041857.041860.421860.421861.601861.60110576m110576m1106561106561108631108631111431111431114231114231116251116251116961116960 01515303045456060757590901 1″″″″1 1′′′′ΔL=1ΔL=1°°°°1″1″1′1′平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长BB 单位纬差的子午线弧长随单位纬差的子午线弧长随B B的增大而缓慢地增大；而单位的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随经差的平行圈弧长则随B B的增大而急剧缩短。

同时还知，子午的增大而急剧缩短同时还知，子午弧长弧长1°1°约为约为110KM110KM，，1′1′约为，约为，1″1″约为约为30M30M；而平行圈弧长仅；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B B的增大它们的差的增大它们的差值愈来愈大值愈来愈大29297.5 大地线大地线 1.相对法截线的概念相对法截线的概念 （（1）纬度不同的两点，法线必）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；交于旋转轴的不同点；（（2）椭球面上一点的纬度愈高，）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；法线与旋转轴的交点愈低；（（3）当两点的纬度不同，又不）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交因此线将在空间交错而不相交因此当两点不在同一子午圈上，也不当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在二条法截线存在首先明确以下三点：首先明确以下三点：3030假定经纬仪的纵轴同假定经纬仪的纵轴同A，，B两点的两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面以两点为测站，则经纬仪的照准面就是就是法截面法截面。

用用A点照准点照准B点，则点，则照准面照准面 同椭球面的截线为同椭球面的截线为 ，叫做，叫做A点的点的正法截线正法截线，，或或B点的点的反法截线反法截线；同理，由；同理，由B照照A点，则点，则照准面照准面 同椭球面的截线为同椭球面的截线为BbA ，叫做，叫做B点的点的正法截线正法截线，，或或A点的点的反法截线反法截线因A，，B的法线互的法线互不相交，故这两条法截线不重合不相交，故这两条法截线不重合我们把我们把 和和BbA叫做叫做A、、B两点两点的的相对法截线相对法截线 3131n nABAB方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图 当当A A、、B B两点位于同一子午圈或同两点位于同一子午圈或同一平行圈上一平行圈上时时，正反法截，正反法截线则线则合合二二为为一，一，这这是一种特殊情况而是一种特殊情况而通常情况下，正反法截通常情况下，正反法截线线是不重是不重合的因此在合的因此在椭椭球面上球面上A A、、B B、、C C三三点点处处所所测测得的角度得的角度（各点上正法（各点上正法截截线线之之夹夹角）角）将不能构成将不能构成闭闭合三合三角形。

角形为为克服克服这这个矛盾，在两点个矛盾，在两点间间另另选选一条一条单单一的一的大地线大地线代替相代替相对对法截法截线线，从而得到由大地，从而得到由大地线线构构成的成的单单一的三角形一的三角形32322、大地线的定义和性质、大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短曲线椭球面上两点间的最短曲线叫做叫做大地线大地线大大地地线线是是椭椭球球面面上上两两点点间间唯唯一一最最短短线线，，而而且且位位于于相相对对法法截截线线之之间间，，并并靠靠近近正正法截线，它与法截线，它与正正法截线间的夹角为：法截线间的夹角为： 在一等三角测量中，在一等三角测量中，Δ可达千分之四秒，可达千分之四秒，δ可达千分之一二秒可达千分之一二秒 n n大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计。

但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离33333、大地线的微分方程和克莱洛、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳克莱劳)方程方程 1）大地线微分方程）大地线微分方程: 表达表达dL，，dB，，dA与与dS的关系式的关系式34342）克莱洛方程）克莱洛方程：代入代入两边积分得：两边积分得：麦尼儿定理：麦尼儿定理：3535上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数 利用这个关系式可以检查利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确纬度与方位角计算的正确性性36367.6 7.6 将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面 （重点）（重点） 1 1、将地面观测的水平方向归算至椭球面、将地面观测的水平方向归算至椭球面--------三差改正三差改正 归算中两个基本要求：归算中两个基本要求：（（1）以椭球面的法线为基准；）以椭球面的法线为基准；（（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。

将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素 将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正三差改正3737垂线偏差改正的计算公式垂线偏差改正的计算公式 1）垂）垂线线偏差改正偏差改正 把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正垂线偏差改正38382）标高差改正）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同一子午面或不在前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的同一平行圈上的两点的法线是不共面的因此，当进行水平方向观测时，如果照准因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，以引起的方向偏差的改正称标高差改正，以 表示。

表示 照准点大地纬度照准点大地纬度 测站点至照准点的大地方位角测站点至照准点的大地方位角 与照准点的纬度与照准点的纬度B B2 2对对应的子午圈曲率半径应的子午圈曲率半径 照准点的觇标高照准点的觇标高 标高差改正主要与照准点的标高差改正主要与照准点的高程有关高程有关 39393 3）截面差改正）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正截面差改正 测站点大地纬度测站点大地纬度 与测站点的纬度与测站点的纬度B B1 1对应的对应的 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 截面差改正主要与测站点至照准点截面差改正主要与测站点至照准点间的距离间的距离S S有关40404 4）三差改正的计算）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：各等三角测量在归算时对取位的要求： 一等需算至一等需算至0.001″0.001″；； 二等为二等为0.01″0.01″；； 三等和四等为三等和四等为0.1″0.1″ 在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在等和四等三角测量只有在 或或H>2000mH>2000m时，才分时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。

别考虑加垂线偏差改正和标高差改正 41412 2、将天文方位角归化为大地方位角、将天文方位角归化为大地方位角------起始方位角起始方位角（了解）（了解） 背景：背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角( (包含测站垂包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角) ) 在特种工程测量控制网中，在特种工程测量控制网中，有时也有这样的要求天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭有时也有这样的要求天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角A A，这种归算又称起始方位角的归算。

这种归算又称起始方位角的归算 测站点到照准点的大地方位角测站点到照准点的大地方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点的天文经度测站点的天文经度测站点的大地经度测站点的大地经度测站点的天文纬度测站点的天文纬度垂线偏差改正数垂线偏差改正数 当照准点目标高度不大时，天顶距当照准点目标高度不大时，天顶距Z Z接近于接近于90°90°时，垂线偏差改正数可勿略时，垂线偏差改正数可勿略不计，因此上式可写为：不计，因此上式可写为： 上式又称为上式又称为拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点 42423 3、观测天顶距受垂线偏差影响的改正、观测天顶距受垂线偏差影响的改正（了解）（了解）垂线偏差在测线上的分量：垂线偏差在测线上的分量：A为测站点至照准点的大地方位角为测站点至照准点的大地方位角 大地天大地天顶顶距距的的计计算公式算公式 利用上式公式计算出的大地天顶距利用上式公式计算出的大地天顶距Z Z可用于计算高差，此可用于计算高差，此高差称为高差称为大地高差。

大地高差三角高程测量的精度是有限的，若提高其三角高程测量的精度是有限的，若提高其计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏差改正数值中引入垂线偏差改正数 43437.7 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面（重点）（重点）1 1、基线尺量距的归算、基线尺量距的归算 1）垂线偏差对长度归算的影响）垂线偏差对长度归算的影响 :在基线端点在基线端点1和和2处处垂线偏差在基线方垂线偏差在基线方向上的分量向上的分量 各个测段各个测段测量的高测量的高差总和差总和 基线端点基线端点1和和2处的大处的大地高地高 垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响此项改正数值一般比较小，是否需要应结合测区及计算此项改正数值一般比较小，是否需要应结合测区及计算精度要求的实际情况进行具体分析精度要求的实际情况进行具体分析44442 2）高程对长度归算的影响：）高程对长度归算的影响：基线两端点平基线两端点平均大地高程均大地高程 基线方向法截基线方向法截线曲率半径线曲率半径 将上式展开级数，取至二次项将上式展开级数，取至二次项 45452 2、电磁波测距的归算、电磁波测距的归算 前提：前提：1) 在椭球面上两点间大地线长度与相在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；大地线长度；2) 两点间的法截线长度与半径等两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如如当当S=640KM时，之差等于米；时，之差等于米；S=200KM时，时，之差等于之差等于0.005m)。

由于工程测量中边长一般由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计因此所求的大地线长度可以认异又可忽略不计因此所求的大地线长度可以认为是半径为是半径RA相应的圆弧长相应的圆弧长 4646由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜改正的倾斜改正的主项，经的主项，经过此项改正，过此项改正，测线已变成测线已变成平距由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项改正后，项改正后，测线已变为测线已变为弦线是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的改正项简化后：简化后：47477.8 椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算（重点）（重点）1、用勒让德尔定理解算球面三角形、用勒让德尔定理解算球面三角形 假设：假设：半径为半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待计算表明：当三角形边长小于部分看待计算表明：当三角形边长小于240KM时，就时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应角之差小于角之差小于0.001″。

勒让德尔定理：勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超 4848定理表明：定理表明：如果球面三角形的各角减去三分之一球面如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长（同时也是椭球面边长），从而达到解算球为球面边长（同时也是椭球面边长），从而达到解算球面三角形的目的面三角形的目的 4949F为平面三角形的面积为平面三角形的面积2、球面角超的计算：、球面角超的计算： f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这时，这种误差小于种误差小于0.0005″，可忽略。

可忽略50507.9 大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）（了解）如图所示，已知如图所示，已知P1点的大地坐标（点的大地坐标（ ），），P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其大及其大地方位角地方位角A12，计算，计算P2点的大地坐标点的大地坐标（（ ）和大地线）和大地线S在在P2点的反方点的反方位角位角A21，这类问题叫做，这类问题叫做大地主题正大地主题正解解如果已知如果已知P1和和P2点的大地坐标点的大地坐标 （（ ）和（）和（ ），计算），计算P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其正、反大地方及其正、反大地方位角，这类问题叫做位角，这类问题叫做大地主题反解大地主题反解 5151ØØ地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系ØØ椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系ØØ椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径ØØ椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算ØØ大地线大地线大地线大地线ØØ将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球面面面面ØØ将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面））））ØØ椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算ØØ大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）（了解）（了解）（了解）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（掌握解算原理）（掌握解算原理）（掌握解算原理）（掌握解算原理）（了解概念）（了解概念）（了解概念）（了解概念）本章小结：本章小结：。