牧羊人的希望数学建模论文.doc

牧羊人的最优决策问题一. 摘要本文主要对牧场最大经济效益问题提出两个规划方案分析题中所给数据可知，这是 i个最优规划问题，规划方案的结论将作为牧民饲养的参考依据先找出所求的目标函数, 再列出约束条件，即通过有限的牧草资源来限制这片牧场能够饲养的羊群的数目，并使牧 草达到最大的利用来建立数学模型建立模型后，运用MATLAB和LINGO软件求解，得 到最优解，使其能够获得的最大的收益模型一的出发点是假设这个牧场已经步入正轨，且达到了题目所要求的最佳状态，那么 此时，每一种年龄阶段的羊的数量的分布就是一定的，我们称Z为最大坏境容量，那么目 标函数就转化为求母羊的数量的最大值在这里，我们的目标就是能够在草供应充足的前 提下，维持这种状态那么，根据假设，以及题中所给的母羊繁殖的比率，各种年龄的羊 Z间就有一定的数量关系每日草的生长量和每口羊的食草量就决定了口标函数的约束条 件，模型就建立起來了这是一个非线性规划求最优解的模型，我们通过LING0软件，可 以求得当牧场面积为1000平方米时，牧场的最大饲养容量为42只在模型一中，我们是通过反过来计算羊的食草量，以验证模型结论的合理性在验证 过程中，发现夏季和秋季的草均有剩余，于是我们想将剩余的草最大利用，同时又不破坏 生态的平衡，这也是模型中的创新之处。

在第二个模型中，以第一年从羔羊养起，以后每年按相同的比例保留母羊进行下一年 的繁殖，且将每年春季产下的公羔羊和部分母羊卖出，在根据其卖出的总羊数來衡量他所 得的收益，且此模型考虑了草的转化率，羊羔的性别比例，并做了相应的假设，设定了两个 未知数，求得目标函数，并利用MATLAB和线性规划求得最优解得出结论为：最大经济 效益的饲养方案为：当牧场面积为1000平方米时，最初应该养只羊，扩大牧场面积, 养的数量也随着牧场面积比例的变化而变化这个模型计算起来简单，但检验有一定的难 度二. 问题重述与分析一个拥有一定面积的牧羊人，想通过科学的管理，使得牧场的收益达到最大，他要解 决的问题有：1・这片牧场应该饲养多少只羊2.在夏天的时候，他应该储存多少牧草用于 冬季羊群的供应3.在出售母羊时，他应该保留多大比例的母羊下面是低洼地的某一类草的近似平均平均生长率：季节冬季春季夏季秋季日生长率（g）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头假定每只母羊仅喂养5年 就出售下面是一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄（年）0—11 22——33——44——5产羊羔（头）01. 82. 42. 01. 8在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量:日需草量（kg）羔羊母羊冬季02. 10春季1. 002. 40夏季1. 651. 15秋季01・35这是一个最优规划问题。

我们主要的目的是使在题目所给数据的条件下，使得牧民的 利益达到最大首先得确定目标函数，再列出约束条件，求得最优解所求得的最优解就 是提供给牧民的最好的决策依据三、问题假设1） 不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不 计；2） 能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行交配，且交配完之后送走公羊且公羊吃的草 忽略不计；3） 所有养生病时不影响吃草量；4） 所有养践踏草不影响草的增长；5） 每天长出來的嫩草羊都能吃草，且不影响草的增长率；6） 假设牧场的面积为1000平方米7） 假设不会发生严重的自然灾害8） 不考虑羊群死亡!1!模型的建立和求解模型一模型分析：建立这个模型的目的是使牧民的经济效益最大，即模型的结论能够给牧民提供 最优的决策，这就相当于使得牧场的容量达到最大，并且不破坏生态的平衡假设这个牧 民饲养羊群己经步入正轨，而且以将达到了最高效益的状态，这个时候各种羊龄的指数也 是一个定值，如果在今后的几年中，我们如果能通过这个模型能使这个状态保持不变，最 大利益的目标便达到了一、模型假设：1. 每一年养羊从春天开始，秋天卖出，饲养的羊达到5年便全部卖出2. 母羊在春季产羊羔，秋季将公羊和母羊卖出3. 母羊放养，公羊圈养，且公羊的食草量和母羊一样4. 假设牧场的面积为1000平方米5. 不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不 计6. 鲜草向干草的转化率为0.5,且他们有相同的喂养效果7. 题中的3克理解为一颗草每天长的重量8. 1平方米大概有36颗草9. 假设所有的牧场都是低洼地10. 羊群对牧草的践踏不影响牧草的生长11・假设该牧民以最大环境容量养羊，那么i〜i+1阶段的羊留下来的数量记为xi+112. 假设羊群不生病，不考虑羊群的成活率13. 假设每一个季节都为90天二、符号说明:1. X1：前一年秋天保留下来的0〜1岁的羊的数量2. x2：前一年秋天保留下来的1〜2岁的羊的数量3. x3：前一年秋天保留下来的2〜3岁的羊的数量4. x4：前一年秋天保留下来的3〜4岁的羊的数量5. y：夏季每天为冬季准备的草的重量(kg)6. 第二年春天年母羊保留的比例7工2:第三年春天年母羊保留的比例8. 「3:第四年春天年母羊保留的比例7. Z:牧民的经济效益三、模型的建立和求解根据模型的假设可知：若：第i年的春天各年龄段的母羊数分别为：xl,x2,x3,x4那么，这一年所产的羔羊的数目应为：1.8*xl+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4 因此，最大经济效益模型(目标函数)为：maxZ= xl+x2+x3+x4约束条件：羊的是草量草的生长量，可以列出以下式子：(1.8*xl+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4) +2.4*(xl+x2+x3+x4) <=1000*0.003*36 (1)1.15*1.8*xl+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4) + 1.65*(xl+x2+x3+x4)v= 1000*0.007*36 ••…(2)1.35*(x 1 +x2+x3+x4)v=0.004* 1000*36 (3)(x 1 +x2+x3+x4)*4.2=y (4) xl<=x2x2<=x3x3<=x4x2=xl*rlx3=x2*r2x4二x3*r3其中；rl,r2,r3均是0到1的一个常数由于羊的数目要求整数，故由lingo求整数解可得:Local optimal solution found•Objective value:25.00000Extended solver steps:5Total solver iterations:172XI16.000000.000000X24.0000000.000000X33.0000000.000000X42.0000000.000000Y105.0000-0.2380952R10.25000000.000000R20.74999960.000000R30.66666670.000000RowSlack or Surplus DualPrice125.000001.00000020.0000000.0000003155.55000.0000004110.25000.00000050.0000000.2380952612.000000.00000071.0000000.00000081.0000000.00000090.0000000.00000010-0.1720313E-050.000000110.0000000.000000120.75000000.000000130.2500004CostVariableValueReduced0.000000140.33333330.0000000.000000程序代码如下：model:max=xl+x2+x3+x4;1.8*xl + 2 ・4*x2 + 2.0*x3 + l・8*x4 + 2・4*(xl+x2+x3+x4)<=1000*0.003*36;1・15* (1・ 8*xl + 2.4*x2 + 2 ・ 0*x3 +1・ 8*x4)+1・ 65*(xl+x2+x3+x4)<=1000*0 ・ 007*36;1・ 35* (xl+x2+x3+x4)<=0・004*1000*36;4.2* (xl+x2+x3+x4)=y;xl>=x2;x2>=x3;x3>=x4;x2=xl*rl;x3=x2*r2;x4=x3*r3;rl<=l;r2<=l;r3<=l;@gin (xl);@gin (x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(y);end从上述的结果可以看出，当牧场的面积为1000平方米时，每年最多能养母羊25只，其 中，0〜1龄羊16只，1〜2龄羊4只，2〜3龄羊4只，3〜4龄羊2只，他们之前保留的比例 分别约为：0・25, 0.75, 0.67,其中，3〜4龄羊喂养一年后就全部卖出。

每年夏季至少 要贮存105*90 = 9450千克鲜草此时，我们可以反过來计算羊的食草量，以验证上述模型结论的合理性这块牧场一 年之内可以生长的草的重量为：1000*0.014*36*90 = 45360 千克 而羊群每季食草量如下：季节夏天秋天冬天食草量(千克)108x90=972096.45*90=8680.533.75*90=3037.59450总计：30715千克剩余的草量为：45360-30715=14615千克为什么还会有剩余的草呢？可不可以将这些草也利用起来？从题中给出的数据我们 知道，春季草的生长率是最低的，但是食草量确是最高的，羊的最大饲养量受春季的影响 最大，而夏季和秋季的草生长率相对较高，羊的食草量也不大，因此造成了草的剩余，为 了最大程度的利用资源，也是提高经济效益，我们制定方案如下：剩余的草还可圈养公羊数:14715/ (4.2+2.4 + 1.15+1.35) /90=17.88,取整数17只比较：当牧场的面积为500平方米时，牧场的最优经济效益养殖为：10.0000069987Local optimal solution found•Objective value:Extended solver steps:Total solver iterations:VariableValueReduced CostXI3.0000000.000000X23.0000000.000000X32.0000000.000000X42.0000000.000000Y42.00000-0.2380952R10.99999990.000000。