线性二次型的最优控制.ppt

第5章 线性二次型的最优控制,,本章主要内容：5.1 线性二次型问题5.2 状态调节器5.3 输出调节器5.4 跟踪器,线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）,,,5.1 线性二次型问题,线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,正定二次型 半正定二次型 实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0) 加权矩阵总可化为对称形式求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小性能指标的物理含义：,加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大,,线性二次型问题的本质： 用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的线性二次型问题的三种重要情形：,,,5.2 状态调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。

5.2.1 有限时间状态调节器问题,物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,（R(t)正定，保证其逆阵的存在规范方程组：,写成矩阵形式：,其解为：,下面思路： 确定 与 的关系，带入 （5-6）形成状态反馈,,,,,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,即,为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：,（5-13）-（5-12）*F 可得,,,可实现最优 线性反馈控制,下面思路： 求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大,,,（5-17）对时间求导,2.应用其性质求解p(t),,（5-20）与（5-19）相等，可得,,,,黎卡提方程（Riccati),边界条件：,,,,还可进一步证明，最优性能指标为：,黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R,3. 状态调节器的设计步骤,（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t),（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t),（4）求解最优轨线x*(t),（5）计算性能指标最优值,,例[5-1],已知一阶系统的微分方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。

解：,二次型性能指标为：,其中p(t)为黎卡提方程的解,最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,,文件名：dfun1.matfunction dy = dfun1(t,y) dy = zeros(1,1); % a column vector a=-1; q=1; r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,,文件名：cal_p.mat(主程序）options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4); f=0; %initial value sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100); y = deval(sol,x); plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100),,利用matlab进行 最优控制系统仿真,,,,,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。

5.2.1 无限时间状态调节器问题,说明： 1）要求系统完全能控 2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应,,最优轨线满足下列线性定常齐次方程：,性能指标最优值,可以证明：,P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的例[5-2],已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一,解之,,利用矩阵P正定的性质,,与给定条件 矛盾，故假设 不成立,下面用反证法证明 不是所求的根,最优控制为：,利用矩阵P正定的性质,,最优状态调节器闭环系统结构图,闭环系统传递函数,闭环极点为,a>2,实根，过阻尼a<2,复根，衰减震荡,,利用matlab计算和仿真,A=[0 1;0 0] B=[0;1] a=2 b=1 Q=[1 b;b a] R=1 K=lqr(A,B,Q,R,0),,,,,5.3 输出调节器,5.2.1 有限时间输出调节器问题,,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。

物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题,,,,将（5-29）代入（5-30）,,若 是半正定的，则转化为状态调节器问题最优控制为：,,,可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的有限时间最优输出调节器系统结构图说明： （1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息 （2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的5.2.2 无限时间输出调节器问题,,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：,,例[5-3],已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,验证系统能观性,,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控且完全能观，故最优控制为：,解之,利用矩阵P正定的性质,,,闭环传递函数为：,最优控制系统的结构图：,,,说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变,,利用matlab计算和仿真,A=[0 1;0 0] B=[0;1] C=[1 0] D=0 sys=ss(A,B,C,D) Q=1 R=1 K=lqry(sys,Q,R,0),,,5.4 跟踪器,设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）,假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。

物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近5.4.1 线性时变系统的跟踪问题,,,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,规范方程组：,写成矩阵形式：,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用横截条件给出了终端时刻二者的关系：,将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：,其解为：,,,,（5-43）对时间求导,2.应用系统特性求解p(t)，g(t),（5-45）与（5-46）相等，可得,,,,,,,边界条件：,,,,,对所有 均成立，推出：,,综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：,最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上互为负的转置关系（伴随矩阵）,,由（5-54）可知，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部的信息 与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输 出 的全部未来值关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）,,最优跟踪系统结构图,伴随矩阵,,,设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）,控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。

5.4.2 线性定常系统的跟踪问题,,当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：,,线性定常最优跟踪系统结构图,,例[5-4],已知一阶系统的状态方程：,求使性能指标为极小值时的最优控制解：,二次型性能指标为：,其中p(t)， g(t)为下列方程的解：,,第5章 结束语,研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题调节器问题：状态调节器、输出调节器跟踪问题与经典控制问题的关系线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题 线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的本章要点：状态调节器、输出调节器和跟踪问题的控制规律,本章作业： 秦寿康 教材，P144 习题1，2，3，4（仿真研究），6，9,。