课件3-514第4章.pdf

1 第四章 流体动力学基本方程 §4—1 实际流体中的应力与变形速度 一、实际流体中的应力一、实际流体中的应力 在理想流体中，由于没有摩擦 力，故表面力只有压力对于粘性流 体， 除法向应力外， 还有切向应力(摩 擦力)，则每一作用面上的表面力的 合力不再垂直于作用面， 而与作用面 成一夹角 下面我们研究流场中 A 点 中的应力状况 通过 A 点作一微元直六面体的 流体微团，(图中只画了三个可见面 的应力)，当 dx，dy，dz 趋于零时， 这九个应力分量描述了 A 点的应力状 态τ中第一个角标表示应力所在平面 的法线方向，第二角标表示应力本身方 向下面证明切应力相关性： 现在对平行六面体的中心M并与z 轴平行的轴取矩(力矩 “－” ， “+” )， 则只有“前后左右”四个面的力对此轴有矩，而质量力和惯性力本身就是三阶无 穷小量，而产生的力矩则是四阶无穷小量，故忽略不计，则力矩平衡方程如下： 0 2 d dd)d( 2 d dd 2 d dd)d( 2 d dd=++++−− x zy x zy y zx y zx xyxyxyyxyxyx ττττττ 由转动定律，合力矩=转动惯量×角加速展开，则： 0ddddddd 2 d dddddd=++−−zyxzyx y zxzyx xyxyyxyx ττττ ()0=+− xyyx ττ yxxy ττ= 同理， ⎩ ⎨ ⎧ = = zyyz zxxz ττ ττ ，则九个应力只有六个是独立的。

二、应力和变形速度之间的关系二、应力和变形速度之间的关系 x y z dx A M (x,y,z) τyx τyz σy τzx σx τxy dz dy τzx σz τzy dy y x z dx M τyx τyx+dτyx τxy+dτxy τxy 2 现在推导应力和变形速度之间的关系： 二维运动情况： ()yxfu,=；若( )yfu =，则为一维流动 对一维运动，仅有x方向速度u，υ =0，其角度变形速度为： ty u y u t y tu d d d d d d d d d dd tgdd ϕ μμτ ϕ ϕϕ == = == 而 则 在二维运动情况下，先考虑xy平面，若不考虑伸缩变形(即线变形)，即认 为0= ∂ ∂ = ∂ ∂ yx uυ (实际并不等于0，否则与后面矛盾)有： y u xttt∂ ∂ + ∂ ∂ =+= υβαϕ d d d d d d ∵α υ υ αdd d dd tgd= ∂ ∂ = ∂ ∂ =&t xx tx x ∴ xt∂ ∂ = υα d d 同理： y u t∂ ∂ = d dβ 假定μ在各个方向均为同一数值(为各向同性)，根据牛顿内摩擦定律 t d dϕ μτ=有： x y dy τyx τ dβ u dx dαdx′ τxy υ y y u ud ∂ ∂ + y y d ∂ ∂ + υ υ x x d ∂ ∂ + υ υ x x u ud ∂ ∂ + x y dy dudt τ τ u u+du dϕ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == zxzxxz yzzyyz xyyxxy x w z zy w y u x με υ μττ με υ μττ με υ μττ 2 2 2 这就是广义牛顿内摩擦定律。

广义牛顿内摩擦定律：即切向应力等于动力粘度与角变形速度的乘积 三、法向应力和线变形速度之间的关系三、法向应力和线变形速度之间的关系 粘性流体的法向应力=理想流体的压力+粘性引起的应力 则： xxxxx ppτσ+−==， yyyyy ppτσ+−==， zzzzz ppτσ+−==由于p 与σ反向，故p前加“－”号又类似于虎克定律有： z w k y k x u k zzyyxx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =τ υ ττ,, (其中，同名偏导数相当于应变，k相当于弹性模量)，经复杂推导：k=2μ 所以： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ +−== ∂ ∂ +−== ∂ ∂ +−== z w pp y pp x u pp zzz yyy xxx μσ υ μσ μσ 2 2 2 三式相加，则： )(23 z w yx u p zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +−=++ υ μσσσ )( 3 1 zyx pσσσ++=∴ 即： zyx σσσ、、三个法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力 4 §4—2 实际流体中的运动微分方程 在流场中取一平行六面体的流体微团， 由牛顿第二定律得amF v v =， 在x方向 则有∑= t u mF x d d ，则： t u zyxzyxfzyx zyx zyxfxzy x xz yxz x yxzyx x zyF x zx yx x x yx yxyx zx zxzx x xxx d d ddddddddd)( ddddd)d(dd dd)d(dddd)d(dd ρρ τ τ σ ρ τ ττ τ ττ σ σσ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ ++− ∂ ∂ ++− ∂ ∂ ++−= ∑ 化简为：)( 1 d d zyx f t u zx yx x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ += τ τ σ ρ 将 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ +−= )( )( 2 x w z u y u x x u p zx yx x μτ υ μτ μσ 代入上式，则： x y z dx (x,y,z) fz dz dy fy fx τzx σx τyz z x zx zx d ∂ ∂ + τ τ x x x x d ∂ ∂ + σ σ y x yx yx d ∂ ∂ + τ τ 5 uv x p f z u y u x u v x p f z w yx u xz u y u x u x p f zx w z u y u yxx u x p f x w z u zy u xyx u p x f t u x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 )( 1 )()( 1 ]2[ 1 )]([)]([)2( 1 d d ∇+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −+= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ +− ∂ ∂ += ρ ρ υ ρ μ ρ μ ρ μμμ υ μμ ρ μ υ μμ ρ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∇+ ∂ ∂ −= ∇+ ∂ ∂ −= ∇+ ∂ ∂ −= wv z p f t w v y p f t uv x p f t u z y x 2 2 2 1 d d 1 d d : 1 d d : ρ υ ρ υ ρ 同理 故有 上式即为纳维尔—斯托克斯方程，写成矢量形式为： Vvpf t V vv v 2 1 d d ∇+∇−= ρ 。

讨论： (1)以上三式(即N-S方程)加连续方程0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w yx uυ 联立，成一封闭方程 组原则上可解pwu，，，υ四个未知数但实际上流动现象很复杂，而 t V d d v 又 是非线性的，所以，对大部分问题，N-S 方程的求解，在数学上是很困难的，据 有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个 (2)应用条件：不可压流体，且μ=常数 (3)对理想流体有：μ=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压 流体的普遍运动微分方程 (4)由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程 仅适用于层流， 但也有人认为， 如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于 紊流 (5)N-S方程中的压力)( 3 1 zzyyxx pppp++−=为任意三个互相垂直法向应力 的算术平均值 6 (6)物理意义：单位流量流体的惯性力=单位数量流体的质量力、压力、粘性 力之和，指向作用面的内法线方向 7 §4－3 理想流体的运动微分方程 在流动的流体中，取出一边长为dx、dy、dz 的平行六面流体微团(系统)，平 均密度为ρ 由于是理想流体， 故作用在流体微团上的外力只有压力(只写出了x 方向)和质量力。

由牛顿第二定律amF v v＝ , 在x方向有： z p f t w y p f t x p f t u t u zyxzyxfzyx x p t u zyxzyxfyz x x p pyz x x p p z y x x x ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −⇒ =+ ∂ ∂ −⇒ =+ ∂ ∂ +− ∂ ∂ ρ ρ υ ρ ρρ ρρ 1 d d 1 d d 1 d d d d ddddddddd d d dddddddd) 2 d (dd) 2 d ( ＝ ＝同理： ＝ － 上式即为理想流体的欧拉运动微分方程写成矢量形式即为： )( 1 )(grad 1 d d k z p j y p i x p kfjfifpf t V zyx vvvvvvv v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −++=−= ρρ 其中f v 为单位质量流体的质量力 又由于：]),(),(),([ttztytxuu = ]),(),(),([ttztytxυυ= fx x y z p dz dx dy t u d d zy x x p pdd 2 d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + zy x x p pdd 2 d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + fy fz 8 ]),(),(),([ttztytxww= 这里的x，y，z是流体微团的坐标，显然是t的函数，把全导数展开有： t z z u dt y y u t x x u t u t u d dd d d d d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = t z zt y yt x xtt v d d d d d d d d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = υυυυ t z z w t y y w t x x w t w t w d d d d d d d d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 又因为u t x = d d ，υ= t y d d ，w t z = d d ，所以有： x p f z u w y u x u u t u x ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ υ 1 ① y p f z w yx u t y ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ υυ υ υυ1 ② z p f z w w y w x w u t w z ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ υ 1 ③ 很显然，若流体处于静止状态，即u＝υ＝w=0。

则欧拉运动微分方程变成 欧拉平衡微分方程，即： 0 1 = ∂ ∂ − x p fx ρ 0 1 = ∂ ∂ − y p fy ρ 0 1 = ∂ ∂ − z p fz ρ 欧拉运动微分方程的另一形式是兰姆运动微分方程，将①式左边 x w w x∂ ∂ ± ∂ ∂ ± υ υ，则有： 9 )(2) 2 ( 22) 2 ( )()()( d d 2 222 zy yz w V xt u w wu xt u x w z u w xy u x w w xx u u t u t u υωω ωυω υ υ。