高中数学课后提升训练三1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式新人教A版选修22-7页.pdf

课后提升训练三几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(30 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 40 分) 1. 已知直线y=kx 是 y=lnx 的切线 , 则 k 的值为( ) A.B.-C.D.-【解析】选 C.y=k, 所以 x=, 切点坐标为, 又切点在曲线y=lnx 上, 所以 ln=1, 所以=e,k=. 2. 下列命题中正确的是( ) 若 f (x)=cosx,则 f(x)=sinx 若 f (x)=0, 则 f(x)=1 若 f(x)=sinx,则 f (x)=cosx 若 f(x)=, 则 f (x)=A.B. C.D.【解析】 选 C.当 f(x)=sinx+1时,f (x)=cosx; 当 f(x)=2时,f (x)=0;若 f(x)=, 则 f (x)=-. 3.(2017 南宁高二检测) 质点沿直线运动的路程s 与时间 t 的关系是s=, 则质点在t=4 时的速度为( ) A.B.C.D.【解析】 选 B.s =. 当 t=4 时,s =. 4. 若曲线 y=在点 (a,) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18, 则 a 等于( ) A.64 B.32 C.16 D.8 【解题指南】先根据导数求出切线的斜率, 利用点斜式写出切线的方程, 再求出切线与两坐标轴的交点, 然后根据三角形的面积公式列方程求a 的值 . 【解析】 选 A.因为 y=-, 所以当 x=a 时 ,y =-, 所以在点 (a,) 处的切线方程为y-=-(x-a), 令 x=0, 得 y=, 令 y=0, 得 x=3a. 所以3a=18, 解得 a=64. 【补偿训练】函数 y=ex在点 (2,e2) 处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A.e2B.2e2C.e2D.【解析】 选 D.因为当 x=2 时,y =e2, 所以切线方程为y-e2=e2(x-2). 当 x=0 时,y=-e2, 当 y=0 时,x=1. 故切线与坐标轴围成三角形的面积为|-e2| 1=. 5.(2017 天津高二检测) 已知 f(x)=xa, 若 f (-1)=-4,则 a 的值为( ) A.4 B.-4 C.5 D.-5 【解析】 选 A.求导得 f (x)=axa-1, 因为 f (-1)=-4, 所以 a(-1)a-1=-4, 所以 a=4. 6. 函数 y=2x-x2的图象大致是( ) 【解析】 选 A.分别画出函数f(x)=2x和 g(x)=x2的图象 , 如图所示 , 由图可知 ,f(x)与 g(x) 有 3 个交点 , 所以 y= 2x-x2=0, 有 3 个解 , 即函数 y=2x-x2的图象与x 轴有三个交点, 故排除 B,C, 当 x=-3 时,y=2-3-(-3)20,x20, 所以 k1k2-1, 所以函数y=lnx 不具有 T 性质 . (3) 对于函数y=ex,y =ex,k1=,k2=, 显然均大于0. 所以函数y=ex不具有 T 性质 . (4) 对于函数y=x3,y =3x2,k1=3,k2=3, 显然 k1k2-1, 所以函数y=x3不具有 T性质 . 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 9. 函数 y=x2(x0) 的图象在点 (ak,) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak+1, 其中kN*, 若 a1=16, 则 a1+a3+a5的值是 _. 【解题指南】利用导数的几何意义求出切线方程,再求其与x 轴的交点横坐标. 【解析】 因为 y =2x, 所以过点 (ak,) 的切线方程为y-=2ak(x-ak), 又该切线与x 轴的交点为 (ak+1,0),所以 ak+1=ak, 即数列 ak是等比数列 , 首项 a1=16, 其公比 q=, 所以 a3=4,a5=1, 所以 a1+a3+a5=21. 答案 : 21 【补偿训练】 (2017 广州高二检测) 在平面直角坐标系xOy中, 若曲线 y=lnx 在 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0 垂直 , 则实数 a 的值为_. 【解析】因为 y=lnx 的导数为 y =, 即有曲线 y=lnx 在 x=e 处的切线斜率为k=, 由于切线与直线ax-y+3=0垂直 , 则 a=-1, 解得 a=-e. 答案 : -e 10. 过曲线 y=cosx 上点 P且与过这点的切线垂直的直线方程为_. 【解析】 因为 y=cosx, 所以 y=-sinx, 曲线在点P处的切线斜率是-sin=-, 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为, 所以所求的直线方程为y-=, 即 2x-y-+=0. 答案 : 2x-y-+=0 三、解答题11.(10分 )(2017 济宁高二检测) 已知曲线 y=5, 求: (1) 这条曲线与直线y=2x-4 平行的切线方程. (2) 过点 P(0,5) 且与曲线相切的切线方程. 【解析】 (1) 设切点为 (x0,y0), 由 y=5, 得 y=, 所以切线斜率为, 因为切线与直线y=2x-4 平行 , 所以=2. 所以 x0=, 所以 y0=. 则所 求切线方程为y-=2, 即 16x-8y+25=0. (2) 因为点 P(0,5) 不在曲线 y=5上, 设切点坐标为M(t,u),则切线斜率为, 又切线斜率为, 所以=. 所以 2t-2=t, 又 t 0, 解得 t=4. 所以切点为M(4,10), 斜率为. 所以切线方程为y-10=(x-4), 即 5x-4y+20=0. 【补偿训练】设抛物线 y=x2与直线 y=x+a (a是常数 ) 有两个不同的交点, 记抛物线在两交点处切线分别为l1,l2, 求 a 值变化时l1与l2交点的轨迹 . 【解析】 将 y=x+a 代入 y=x2整理得 x2-x-a=0, 因为直线与抛物线有两个不同的交点, 所以 =(-1)2+4a0, 得 a-. 设两交点为 ( , 2),( , 2), , 由 y=x2知 y=2x, 则切线l1, l2的方程分别为y=2x- 2,y=2 x-2. 设两切线交点为(x,y), 则因为 , 是的解 , 由根与系数的关系, 可知 +=1, =-a. 代入可得x=,y=-a. 从而 , 所求的轨迹方程为直线x=上的 y的部分 . 【能力挑战题】已知曲线y=f(x)=. (1) 求曲线在点P(1,1) 处的切线方程. (2) 求曲线过点Q(1,0) 的切线方程 . (3) 求满足斜率为-的曲线的切线方程. 【解析】 因为 y=, 所以 y=f (x)=-. (1) 显然 P(1,1) 是曲线上的点. 所以 P为切点 , 所求切线斜率为函数y=在 P(1,1) 点的导数 . 即 k=f (1)=-1. 所以曲线在P(1,1) 处的切线方程为y-1=-(x-1),即为 y=-x+2. (2) 显然 Q(1,0) 不在曲线y=上. 则可设过该点的切线的切点为A, 那么该切线斜率为k=f (a)=. 则切线方程为y-=-(x-a).将 Q(1,0) 代入方程得 :0-=(1-a). 解 得 a=, 代回方程整理可得: 切线方程为y=-4x+4. (3) 设切点坐标为B(b,), 则切线斜率为k=-=-, 解得 b=, 那么 B(,),B (-,-).代入点斜式方程得y-=-(x-) 或 y+=-(x+). 整理得切线方程为y=-x+或y=-x-. 。