第三节格林公式及应用.doc
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第三节格林公式及应用3.1学习目标掌握格林公式并会运川T•面ilh线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函 数.3.2内容提要1. 格林公式设闭区域D山分段光滑的曲线L围成，W数戸^，＞，；），!2^,;^在＞內具有一阶连续偏 导数,则有dx dydxdy，其中L是Z）的取正句的边界曲线.【注】（1）格林公忒揭示了二熏积分与曲线积分的联系.（2） D可以是fi连通区域.（3） L为正叫的封闭曲线，戶（义，＞，），2^，；^在0内具杳一阶连续偏异数，两者缺一不可.在利川格林公式计算llh线积分时，若不封W,则考虑适当补边使之封W;若在＞内 函数有奇点，应考虑将奇点挖掉.（4）当尸= = 时，可求出封闭曲线所围区域的面积A=^\Lxdy-ydx2. 平面上曲线积分与路径无关的条件设区域G是一个单连通域，函数尸Qv，乂），在区域G内具杏一•阶迕续的偏异数，则曲线积分Pdv+（24_v在G内与路径无关（或沿Gp、j任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是dQ_dP_ dx dy在G内成立.【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算吋，可以在G内选择简单路径， 选择折线是常用的方法.3. 二元阑数的全微分求积设区域G是一•个单连通域，W数PCr，y），e（x, J，）在区域G内其有一阶连续的偏导数，则/^0’）也+ 2（人＞’）办在0内为某一函数《0^）的全微分的充要条件是在G内柄成立.考察L是否封闭，若封闭用格林公式;若不封闭取参数x = p⑴，7 =沖），也考察L是否封闭，芯封闭结果为0;荞不封闭，川折线或川补线其中礼是区域G内适当选定的一点•【注】设区域G是一个单连通域，函数户（；1，分2^，又）在区域0内具有一阶迮续的偏 导数，则以卜*四个命题等价：命题1曲线积分1 Air+afy在G内与路径无关；命题2在G内任意一■条闭曲线L，WPdx + Qdy = 0 :命题3表达式尸+ 在G内是某个二元函数的全微分，即存在w（x, y）使得也=P（X，y）dx+ Q（x, y）dy:命题44. 计算池+ 2办的一般步骤（1）首先验证是否（1）酋先验证是否=——，来求.3.3典型例题与方法 基本题型I:利用格林公式求第二类曲线积分例1填空题⑴设/Cv，)O在+ 内具有迮续的二阶偏异数，c为顺时针方14的椭圆 十 + / =1，则 + y)]dx+fy\x,y)dy = (2)设质点在力户= 作用下沿圆周x2 + / =tz2的顺时针方句运动一周，则力F所作的功iv = •解 (1)由格林公式，注意到曲线C为顺吋针方向，得 ^[-3y + A(x, y)]dx + fy\x, y)dy —-JJ [fyx *(x, y) - \x, y) + 3]d(j = -3jjrf<7 = -6?rL) L)故应填-6;r.(2)设曲线C:x2 + / = 2围成的区域为/),则W = \^\-x2ydx + xy2dy = -JJ (x2 + y2 )dxdy = - p3 dp =-丄;m4D 0 0 21 4故应填.例2选择题(1)设曲线C为椭圆4%2 + /=1，并取正向，则曲线积分S二;?等于().(A)(2)(A)0； (B) 2兀 (C) -71 ； (D) 71.已知^是某醐全微分等于O-1 : (B) 0； (C) -2； (D) 2.解 (1)因为4x2 + /=l,代入得-ydx + xdy4x2 + )，2+ xdy = JJ 2dxdy=7T .故选(D).(x+y).(义”)•于是dP _ (a - 2)x - ay dQ _ 2ydy (x+y) dx (x+y)rti3P_ = dQ dy dx故选（D）.例3计算克（义+y）6k —（义—y）办，K中L为椭圆线三7 +会_ = 1的正向• (x+ y)dx - (x - y]dy = JJ (-1 -1 }dxdy - -2JJ dxdy - -2nnb ,【分析3 L为封闭光滑曲线収.U•:向，符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算.解2 2其中>为椭圆域~ +a2 b2例4计算| （W）也-卜咖’，其中L为心+ / :的正向. x~ +y- ’【分析】此题可直接用公式x = acost,y = asintfi
