运动稳定性_2a讲义.ppt

1,第二章,定常线性系统的稳定性,2,一、线性系统的扰动方程,线性动力学系统方程的一般形式:,任何系统的特解的稳定性均可通过扰动方程转化为一新系统的零解的稳定性. 一般情况下特解是否稳定不仅取决于系统, 还取决于特解本身, 但对于线性系统(2), 有:,§1 引言,(2),3,代入 (2):,引入(扰动):,即任何特解的扰动方程都一样.,设 为系统(2)的特解, 且 .,即:,4,二、线性系统的稳定性特点,1. 线性系统的各特解的稳定性都一样;,2. 渐近稳定  全局渐近稳定(即原点的吸引区是全空间) .,三、定常线性系统是可以理论求解的系统,5,对于单变量系统:,有解:,对于多变量系统:,有解:,6,矩阵的指数函数,对于函数 , 有两种等价的定义:,或:,同样, 对 nn 矩阵 A , 有:,其中 E 为恒等阵.,或:,且：,7,求解：,方程改写成：,有：,非齐次方程 的解：,两边乘以 ：,,例：有阻受迫线性振动系统,其中：,方程有特解：,其中：,9,方程的通解：,其中： A 和  由初始条件确定。

显然，方程的特解 是渐近稳定的系统对应于任意初始条件的特解也是(渐近)稳定的系统对应于任意初始条件的特解的扰动方程：,10,一、二阶系统的例子,其铅垂向下的静平衡位置: θ=0,§2 二阶系统,(a),例1: 单摆铅垂向下的静止位置,当摆作微幅摆动时, 有线性化方程:,(b),11,二、二阶线性系统的稳定性,二阶系统:,特征方程:,特征根:,当 时, 方程 (1) 有通解:,(1),其中: cc 表示前面所有项的复共轭.,12,讨论：,(1) 如果: (相应于振动的大阻尼情况), 有:,零解渐近稳定;,(2) 如果: , 有:,零解不稳;,(3) 如果: , 有:,零解不稳;,13,(4) 如果是一对实部为正的共轭复根( ), 有:,扰动解发散;,(5) 如果是一对实部为负的共轭复根( ), 有:,零解渐近稳定;,(6) 如果是一对实部为零的纯虚根( ), 有:,零解稳定但不渐稳;,14,(7) 如果是一对正的重实根( ), 有:,零解不稳;,(8) 如果是一对负的重实根( ), 有:,零解渐近稳定;,(9) 如果: ( ), 有:,零解不稳;,15,(10) 如果: ( ), 有:,零解稳定但不渐稳;,(11) 如果： ( )，有:,零解不稳;,结论:,1. 如果两个特征根均具负实部: 渐近稳定;,2. 如果至少有一个特征根具正实部: 不稳定;,3. 如果特征根是一对纯虚根: 稳定;,4. 如果特征根是一负根和一零根: 稳定;,5. 如果特征根是二重零根: 不稳定.,16,线性系统的稳定性特点,2. 线性系统的各特解的稳定性都一样,3. 渐近稳定  全局渐近稳定(即原点的吸引区是全空间),定常线性系统是可以理论求解的系统,1. 任何特解的扰动方程都一样,17,§3 相平面方法,为表示运动的几何性质, 有三种方式:,一、运动图,以时间 t 为横轴, x 为纵轴画图. 适用于单自由度系统(二阶系统).,,,,18,对于二阶系统的解：,消去时间 t ：,二、相图,19,三、相-时图,相-时空间：,实际上相图是相-时曲线在相空间上的投影。

20,性质：不同的相曲线不相交四、定常系统的相曲线,对于系统：,相曲线的微分方程：,由解的存在惟一性定理可得.,21,1. 等倾线法,五、绘制相图的一般方法,对于系统:,相曲线的微分方程:,作函数 的等值线:,相应得到:,对于二阶系统:,得等倾线方程:,利用:,改写为:,23,2. 线性变换法,对于二阶(二维)系统：,或：,作线性变换：,24,特征方程：,根据特征根情况讨论新系统的相曲线易于确定,原系统的相曲线可由新系统的相曲线经过旋转和伸缩得到,25,3. 定性方法,4. 分区线性化方法,仅适用分段线性或分区线性系统利用线性系统的结果进行拼接26,二阶系统相曲线的特点:,利用:,得等倾线方程:,相曲线的微分方程：,系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示.,相轨迹移动的方向:,在相平面的上半平面, 系统状态沿相轨迹由左向右运动.,在下半平面, 系统状态沿相轨迹由右向左运动.,27,六、相曲线的对称性,对于系统：,相曲线的微分方程：,3. 关于原点对称:,1. 关于 轴对称:,2. 关于 轴对称:,28,例: 二阶系统,,相曲线关于原点对称,相曲线关于坐标轴非对称,29,二阶系统相曲线的微分方程：,对称性,1. 关于 轴对称:,2. 关于 x 轴对称:,3. 关于原点对称:,在 x 轴上, 除平衡点外相轨迹在 x 轴上的斜率为. 所以, 除了奇点外, 相轨迹和 x 轴垂直相交.,30,例: 弹簧-质量振子的自由振动,即:,弹簧-质量振子自由振动的相轨线关于x轴, 轴和原点均对称.,,,31,例: 单自由度保守系统,方程有首次积分(能量守恒):,记:,相轨线关于 x 轴对称.,,,,,,,,,,,,32,例: 单摆,能量积分:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,33,七、二阶线性系统的相图,(1) 稳定结点：,,34,(2) 鞍点：,,35,(3) 不稳定结点：,,36,(4) 不稳定焦点(一对实部为正的共轭复根)：,,37,(5) 稳定焦点(一对实部为负的共轭复根)：,,38,(6) 中心(一对实部为零的纯虚根)：,,39,(7) 退化不稳定结点( )：,,40,(8) 退化稳定结点( )：,,41,(9) 不稳定奇直线： ( ),x 轴上所有点都是平衡位置,42,零解稳定但不渐稳；,(10) 稳定奇直线： ( ),x 轴上所有点都是平衡位置,43,(11) 不稳定奇直线： ( ),44,对于一般的二阶(二维)系统：,或：,作线性变换：,。