学生cha1三维欧氏空间中张量.ppt

§1.1 §1.1 正交坐标系的转动正交坐标系的转动§1.2 §1.2 物理量在空间转动变换下的分类物理量在空间转动变换下的分类§1.3 §1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类物理量在空间反演变换下的进一步分类§1.41.4 §1.5 1.5 第一章第一章 三维欧氏空间中的张量三维欧氏空间中的张量1§1.1 §1.1 正交坐标系的转动正交坐标系的转动曲线坐标系曲线坐标系: :三维空间交于一点不共面的三维空间交于一点不共面的 三条曲三条曲( (射射) )线线( (坐标轴坐标轴) )正交曲线坐标系正交曲线坐标系: : 方向矢量方向矢量( (基矢基矢) )记为记为 , ,满足满足如：直如：直(斜斜)角坐标系角坐标系; 球坐标系球坐标系; ; 柱坐标系；柱坐标系； 讨论三维直角坐标系讨论三维直角坐标系1.1.1 1.1.1 （三维）坐标系（三维）坐标系2右旋右旋右旋坐标系右旋坐标系: :左旋坐标系左旋坐标系: :左旋左旋3考虑右旋直角坐标系讨论绕原点的坐标系转动考虑右旋直角坐标系讨论绕原点的坐标系转动1.1.21.1.2 转动变换矩阵转动变换矩阵有有转动前坐标系为转动前坐标系为 ，基矢为，基矢为转动后坐标系为转动后坐标系为 ，基矢为，基矢为则则基矢的变换基矢的变换(1.2(1.2) )一对重复指标一对重复指标( (哑指标哑指标) )表示对从表示对从1 1到到3 3求和求和上式记为上式记为(1.1(1.1) )4矩阵表示形式矩阵表示形式(1.3(1.3) )(1.3)(1.3)可写为可写为记记(1.4(1.4) )坐标的变换坐标的变换考虑空间考虑空间P P点点, ,在在S S系中坐标为系中坐标为位矢位矢在在 系中坐标为系中坐标为 ，位矢为，位矢为5用用 点乘，有点乘，有得得即转动后坐标满足即转动后坐标满足可写成可写成(1.5(1.5) )(1.6(1.6) )因为转动前后位矢不变，故有因为转动前后位矢不变，故有及及1.1.31.1.3 变换矩阵的特性变换矩阵的特性OPOP的间距为的间距为因为间距与坐标系转动无关，故因为间距与坐标系转动无关，故6故有故有写成矩阵形式写成矩阵形式, ,有有:3*3:3*3单位矩阵单位矩阵三维转动变换系数矩阵三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵是正交矩阵(1.7(1.7) )(1.8(1.8) )将将(1.5)(1.5)式代入得式代入得基矢的转动变换基矢的转动变换点乘点乘得得★★转置有转置有对对7上式右乘上式右乘a a可得可得其分量形式其分量形式(1.9)(1.9)(1.12)(1.12)(1.7)(1.7)式的正交关系分别为式的正交关系分别为(1.13)(1.13)(1.10)(1.10)对对(1.5)(1.5)式两边微商后可将式两边微商后可将 写成写成对坐标变换成立，即对坐标变换成立，即即即(1.11)(1.11)8§1.2 §1.2 物理量在空间转动变换下的分类物理量在空间转动变换下的分类( (三维空间的三维空间的) )场：物理量是空间坐标的函数场：物理量是空间坐标的函数(2.1)(2.1)标量场标量场: : 一个量一个量 且空间转动变换下不变且空间转动变换下不变, ,即满足即满足坐标坐标 一样变换一样变换, ,即即(2.2)(2.2)记为记为矢量场矢量场: : 三个量三个量 在空间转动变换下像在空间转动变换下像: :第第i i个分量个分量列矢形式列矢形式, , 行矢行矢: :9( (两个坐标分量乘积的变换为两个坐标分量乘积的变换为 ) )像两个坐标分量的乘积像两个坐标分量的乘积 一样变换一样变换即即(2.3)(2.3)二阶张量二阶张量: : 九个量九个量 且在空间转动变换下且在空间转动变换下记为记为: :第第 个分量个分量3*33*3矩阵表示矩阵表示10类似地类似地,3,3n n个量个量 在转动变换下在转动变换下像像n n个坐标分量的乘积个坐标分量的乘积变换变换即即称为称为n n阶张量阶张量(2.4)(2.4)是是 第第 个分量个分量标量是零阶张量标量是零阶张量, ,矢量为一阶张量矢量为一阶张量四维空间：四维空间：n n阶张量阶张量: : 个分量个分量11例例2.1 2.1 试证试证 是三维矢量是三维矢量证明证明: :例例2.2 2.2 试证试证 是三维欧氏空间中的二阶张量是三维欧氏空间中的二阶张量张量的判断张量的判断证明证明: :由由即得即得三维矢量三维矢量证明证明: : 由由可得可得由于基矢正交性由于基矢正交性, ,得得有有12若张量若张量满足满足(2.5)(2.5)则分别称张量则分别称张量T T相当于指标相当于指标 是对称的和反对称的是对称的和反对称的构造张量构造张量T T关于指标关于指标 的对称部分和反对称部分的对称部分和反对称部分对称部分对称部分●●●●反对称部分反对称部分则则取取n=2n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为可得结论：任意二阶张量都可以表示为一个对称张量一个对称张量( (矩阵）和一个反对称张量矩阵）和一个反对称张量( (矩阵矩阵) )之和之和(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵13§1.3 §1.3 物理量在空间反演变换下的分类物理量在空间反演变换下的分类空间反演空间反演特点：改变了坐标系的左、右旋特点：改变了坐标系的左、右旋右旋右旋左旋左旋1.3.11.3.1定义为定义为14则为真正的张量则为真正的张量, ,简称张量简称张量若若n阶张量阶张量T的分量的分量按照下式变换按照下式变换(3.3)(3.3)称为赝张量称为赝张量在空间反演下在空间反演下, ,若若 的分量按的分量按n个坐标乘积的个坐标乘积的反演变换规律变换反演变换规律变换, ,即即(3.2)(3.2)赝张量，赝矢量，赝标量赝张量，赝矢量，赝标量1.3.21.3.2称为场的空间宇称称为场的空间宇称15赝标量赝标量( (轴轴) )矢量矢量二阶赝张量二阶赝张量标量标量( (极极) )矢量矢量二阶张量二阶张量常见的空间宇称为常见的空间宇称为标量标量坐标系反演时数量和符号不变坐标系反演时数量和符号不变如质量，电荷，温度等如质量，电荷，温度等赝标量赝标量 反演时符号改变。

如极矢量反演时符号改变如极矢量 的混合乘积的混合乘积16不变张量不变张量: :1.3.31.3.3若张量若张量 在坐标转动变换不变在坐标转动变换不变(3.4)(3.4)例例3.1 3.1 不变矢量是零矢量不变矢量是零矢量例例3.2 3.2 是一个二阶对称张量是一个二阶对称张量, ,而且是不变张量而且是不变张量证明证明: :证明证明: :又二阶张量又二阶张量 为一单位矩阵为一单位矩阵故故不变张量不变张量二阶对称张量二阶对称张量17共共2727个分量，个分量，6 6个不为零个不为零i,j,ki,j,k为为(1,2,3)(1,2,3)的正循环的正循环i,j,ki,j,k为为(1,2,3)(1,2,3)的逆循环的逆循环其它情况其它情况(3.5)(3.5)全反对称张量全反对称张量(3.6)(3.6)1.3.4 1.3.4 符号符号 和和 的关系的关系Levi-Civita符号的定义符号的定义1 12 23 3如：如：构成三阶全反对称张量构成三阶全反对称张量18●● 3×33×3矩阵的行列式的计算为矩阵的行列式的计算为(3.7)(3.7)对于一个二阶张量对于一个二阶张量 , ,以其分量以其分量 为矩阵元的行列式为为矩阵元的行列式为(3.8)(3.8)易验证易验证19上式可写成上式可写成相邻两列交换改变符号相邻两列交换改变符号相邻两行交换改变符号相邻两行交换改变符号将将 移到等式左边得移到等式左边得: :20(3.10)(3.10)的转置矩阵的转置矩阵类似地类似地相邻两行交换改变符号相邻两行交换改变符号(3.9)(3.9)21由此得由此得当当则由则由(3.9)(3.10)(3.9)(3.10)两式得两式得(3.11)(3.11)22利用公式利用公式可得可得(3.12)(3.12)在在(3.12)(3.12)式中取式中取上式中第一行第一列满足上式中第一行第一列满足23上式中取上式中取上式中取上式中取 ，有，有(3.15)(3.15)(3.16)(3.16)(3.14)(3.14)(3.13)(3.13)24例例3.3 3.3 证明证明 满足满足(3.17)(3.17)其中其中: “+”: “+”号适用右旋系号适用右旋系,“-” ,“-” 适用左旋系适用左旋系证明证明: : 正交坐标系中的基矢满足关系正交坐标系中的基矢满足关系(3.18)(3.18)其中其中(i,j,k)(i,j,k)是是(1,2,3)(1,2,3)的正循环的正循环“+”:“+”:右旋系右旋系,“-” :,“-” :左旋系左旋系于是于是(3.19)(3.19)25(3.20)(3.20)而而根据根据(3.7)(3.7)式式,(3.20),(3.20)式化为式化为比较以上两式比较以上两式, ,有有(3.21)(3.21)(3.20a)(3.20a)26例例3.4 3.4 试证试证 的的2727个分量构成一个三阶赝张量个分量构成一个三阶赝张量证明证明: : 考虑右手系。

注意在坐标转动变换下不变考虑右手系注意在坐标转动变换下不变有有利用基矢的转动变换利用基矢的转动变换三阶三阶( (不变不变) )张量张量空间反演空间反演, ,右旋系为左旋系右旋系为左旋系赝张量赝张量27利用利用(3.17)(3.17)和和(3.21)(3.21)可得可得(3.22)(3.22)对于一个二阶反对称张量对于一个二阶反对称张量 , ,可以利用可以利用构造一个矢量构造一个矢量 为为(3.24)(3.24)(3.23)(3.23)对应关系对应关系28则则A A和和B B的张量积用的张量积用 表示表示, ,定义为定义为: :§1.4 §1.4 张量代数张量代数代数运算代数运算1.1.加法加法: :张量的和张量的和( (差差) )为对应分量的和为对应分量的和( (差差) )，， ( (须同阶须同阶) )2.2.数乘数乘: : 张量和标量的乘法张量和标量的乘法. :. :实（复）数实（复）数(4.1)(4.1)(4.2)(4.2)3.3.张量积张量积( (并矢并矢) ): : 若若A: mA: m阶阶;B: n;B: n阶阶, ,(4.3)(4.3)m+nm+n阶阶一般情况下一般情况下294.4.缩阶缩阶: : 运算运算两个矢量的并矢两个矢量的并矢二阶张量二阶张量(4.4)(4.4)称为称为n n阶阶(n>1)(n>1)张量张量T T的指标的指标 与与 之间的收缩之间的收缩即对任意二指标求和。

即对任意二指标求和5.5.二阶张量的二阶张量的迹迹: :(4.5)(4.5)n n阶张量的缩阶可以得到一个阶张量的缩阶可以得到一个n-2n-2阶张量阶张量以下运算都属于缩阶运算以下运算都属于缩阶运算6.6.两个矢量两个矢量A A和和B B的的标积标积( (点乘点乘) ): :(4.6)(4.6)307.7.点乘点乘: : 一次点乘一次点乘(4.7)(4.7)两个张量相邻一对指标求和两个张量相邻一对指标求和一般地不满足交换律一般地不满足交换律二次点乘二次点乘(4.8)(4.8)多次点乘依此类推多次点乘依此类推若若 均为矢量均为矢量, ,有有标量标量8.8.叉积叉积: : 两个张量的叉积可得两个张量的叉积可得(4.9)(4.9)一般不满一般不满足交换律足交换律31证明：证明：特例特例: :两个矢量两个矢量9.9.利用关系式利用关系式 和和3.22,3.233.22,3.23两式两式可证可证(4.10)(4.10)10. 10. 其它公式其它公式(4.11)(4.11)3211.11.单位张量单位张量: :(4.11)(4.11)坐标坐标特点特点:1):1)与任何矢量与任何矢量f f点乘点乘(4.14a)(4.14a)矩阵矩阵2)2)与任何张量点乘与任何张量点乘(4.14b)(4.14b)3)3)与二阶张量二次点乘为张量的迹与二阶张量二次点乘为张量的迹(4.14c)(4.14c)(4.14)(4.14)33§1.5 §1.5 张量分析张量分析在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中, ,微分算子微分算子( (极矢量极矢量) )定义为定义为(5.1)(5.1)微分算子对张量场微分算子对张量场 的作用的作用( (微分运算微分运算) )(5.2-3)(5.2-3)(5.2-4)(5.2-4)(5.2-1)(5.2-1)(5.2-2)(5.2-2)34(5.2-3)(5.2-3)式展开为式展开为( (或由或由4.94.9式给出式给出) )(5.2-3a)(5.2-3a)张量运算张量运算: :(5.3-1)(5.3-1)(5.3-2)(5.3-2)计算公式计算公式: :(5.4)(5.4)35设设 和和 为标量场为标量场, , 和和 为矢量场为矢量场, ,有有书书P15P15式式(1.5.5)(1.5.5)(5.5)(5.5)36书书P15P15式式(1.5.6)((1.5.6)(部分部分) )体积分－面积分变换公式体积分－面积分变换公式: :余见余见P16P16公式公式(1.5.7)(1.5.7)替换法则替换法则注意注意: :次序不可颠倒次序不可颠倒(5.8)(5.8)(5.7)(5.7)(5.6)(5.6)37面积分－线积分变换公式面积分－线积分变换公式: :余见余见P16P16公式公式(1.5.8)(1.5.8)替换法则替换法则次序不可颠倒次序不可颠倒(5.9)(5.9)(5.10)(5.10)作业作业: :1-1.4;1-2.2; 1-3.2; 1-1.4;1-2.2; 1-3.2; 1-4.11(1-4.11(证明证明1.4.111.4.11式中第二，三式式中第二，三式););1-5.7; 1-5.8; 1-5.7; 1-5.8; 38。