1989年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析.pdf

1989年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】y = t + 1.【解】【解】/ = 1 + sin 2z （守）=1,所求的切线方程为y 1 = x ，即夕=工+ 1（2）【答案】E 1,1)【解】【解】由lim5+1_lim仏王I =1得收敛半径为R = I.”f 8”f 丿” + 2当工=-1时,级数工n = 0收敛;当乂 = 1时,级数工 J发散，故收敛域为1,1）. Vn + 1 ”=3）【答案】A H1./A1X 1 1【解】【解】令A =4A1 h 1 A | =1 A 1=(入一I),I1J1 1 1因为齐次线性方程组只有零解所以r(A) = 3,即 | A | 工 0,故入 Hl.（4）【答案】1;1!【解】 【解】 由 F （守 一0）= F&） = F& + 0）得 A = 1,（5）【答案】 *.【解【解】P| X-“ |$3刃刃罟罟二、选择题（1） 【答案】（B）.2J 4- 2【解】 【解】 方法一 因为lim- = lim（2J In 2 + In 3） = In 6 ,所以/ （工）是z的同阶但非等价的x -*0 JC x-*0无穷小，应选（B）.方法二 由 2十3 2 = （eJ ln 2 1） + （eln 3 1）j: In 2 + j? In 3 = j- In 6 得/（工）与 r 为同阶而非 等价的无穷小，应选（B）.（2） 【答案】（C）.【解】 【解】 由 F（jc） + C 得 / （x ） d j; = F（_r）+C = /（）,应选（C）.（3） 【答案】（C）.【解】【解】由| A | = 0得r（A） n,因为矩阵的秩与矩阵行向量组的秩及矩阵列向量组的秩相等，所以矩阵的行向量组与列向量组都线性相 关，即A中必有一行（列）可由其余行（列）线性表示，应选（C）.1989年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 4 页（4）【答案】（C）.【解】由拉普拉斯法则得AB= I A I . I B I , I BA I = I B I I A I ,故 I AB I = BA ,应选（C）.（5）【答案】（D）.【解】 设3 = 甲种产品畅销,C = 乙种产品滞销，则A = BC, 因为A = B +C,所以忑表示甲种产品滞销或乙种产品畅销，应选（D）.1_三、【解】（l）lim（sin*+cos*） = lim 1 + （sin 吕 + cos * 1）叫+c计3严）11 = 吧(響+普1)e.J I =+工2 + f 2 +$(厂21 + jcf22 ) = f 2 + /ll + (工 + 12 + yf 22OX dy(3)方程y，f + byr + 6 = 2eJ的特征方程为A2 +5A +6 = 0,解得入 i = 一2,入2 = 3,则 yf + + 63/ = 0 的通解为夕=G e_2j + C2e-37令原方程的特解为 （无）=处，代入得q = 1,故原方程的通解为y = Cie-2j +C2e3j +eJ其中CC2为任意常数.四、【解】(1)收益函数为R(jr) = xP = IOj?e 2，其中 0工 6,边际收益函数为R(jt) = 5(2 J? )e 2.(2)由 R(h) = 5(2 jr)e 2 = 0 得工=2,5 _王Rfjc ) = 2(z 4)e 彳，因为R= fd -2n)e(x_2n)d(z 2n)=e”f 心)e-q =广(g_ + l).(4)S = $S” = (T - y + T) Se_2nIJ e )1 e2 e+ TCx (2)/(j7)I /( / )dz六、【证明F(w) =-=-,Cx aY由积分中值定理得J = (x a)/(c),其中 qWcWz,(j; a)/(jr) j /(Z)dz = (jr a)/(jr ) /(c) = (z q ) (h c )厂(g),其中 c V W V 工七、【解】【解】因为厂(工)WO,所以当工 6 (a,b)时，FQ) = 0.一Q)(h w 0.(工 a)2由 X = AX+ B 得(E A)X = B,解得 X =(E -A) B,_ 110E-A= 10I201(1-1010/I_ 10100-101一 01-1-110200030-1211 0 00 3T- 210 1 01 3T110 0 10-3021得(E - A)-1丄I 0-32_ 11故X1八、【解】 【解】 令A = (a j ,a .a3),(1)向量组aj ,a2 ,a3线性无关的充分必要条件是方程组AX = 0只有零解， 而AX = 0只有零解的充分必要条件是| A |工0,11I又丨A | =123t 51 3 t1989年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 4 页故当t工5时，向量组a | .a2 ,a3线性无关.(2) 向量组线性相关的充分必要条件是方程组AX = 0有非零解, 而方程组AX = 0有非零解的充分必要条件是| A | = 0,故向量组!，2 ,3线性相关的充分必要条件是t = 5.(3) 令2|5+工25 = a i ,/I 1 1 1 0 -1由1 2 3 0 1 2 得1 3 5 0 0 0 ;方程组 a + x2a2 = a3 的解为 g = 1,乂2 = 2,故心= + 2a,.入 + 1 2 2九、【解】【解】(1)由| AE - A | = -2 A + 1 2 =(入+5)(入一1严=0得-2 2 A + 1A的特征值为入1 = 5,入2 =入3 = 1.(2)A_1的特征值为入1=-，入2=入3 = 1，1 4则 E + A 1 的特征值为 “1 = 1- - = 92 =3 = 2.十、【解】【解】rr ” Cy f+(1)PXVY= dy ex dx = e(l-e)dj/+ 1 1e2ydC2y) = r(i)- r(i)=. o 2 2f+8 f 4-00 ff 4-00(2)E(XY) = dx xyf(x ,y)dy = 工厂工吐 yeydy = T2(2) = 1. J OO J oo J o Jo十一、【解】【解】X的概率密度为2 jc 3的次数，则YB(3,p),由 p = PX 3 =| /(x )dj- = -得 Y B(3,彳)，故 PY2 = PY=2 +PY=3 = &(#) 2 (*) + &(#) 3 =1989年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 4 页。