北大近代电磁理论课件：chapter53circyl.pdf

5.3. 圆柱的散射 这里, 我们假定圆柱为无限长,横截面的形状为圆形且在长度方向是不变的. 现实中不存在这重散射体. 但是有许多实际散射体的散射特性与无限长圆柱的散射很接近. 例如, 一个有限长的圆柱体, 当它的长度方向的大小比半径尺寸大得多时, 可近似将它看成是无限长的圆柱体. 限于篇幅, 这里仅考虑垂直入射的情形. 5.3.1.柱坐标中的一般解 在圆柱坐标系中, 电磁场的解可表达为横电波和横磁波的迭加. 因此, 对每一种散射体, 我们分两种情况来讨论. 在此之前, 我们谈一下二维场在柱坐标中的一般解. 为此, 我们用 (,)ψ ρφ 来表示 或 , 它满足标量亥姆霍兹方程 zEzH2222110kψψρρρ ρ ρ φ⎛⎞∂∂ ∂ψ+ +=⎜⎟∂∂ ∂⎝⎠(5.3.1) 这里, 关于坐标量 的偏导数没有出现在方程中, 是因为我们假定了场是二维的. 现在我们用分离变量法求解这个方程. 首先设z(,)ψ ρφ 可以表达为分离变量的形式 (,)()()f gψ ρφ ρ φ= (5.32) 将这个表达式代入式 (5.3.1)中 , 并将所得方程的两边同除 ()()f gψ ρφ= , 得 222211 110() ()fgkfgρρρρ ρ φρ φ⎛⎞∂∂ ∂+ +=⎜⎟∂∂ ∂⎝⎠两边同乘2ρ 得 222210() ()fkfgρρρρρ ρ φφ⎡⎤⎛⎞∂∂ ∂g+ +⎢⎥⎜⎟∂∂ ∂⎝⎠⎣⎦= (5.3.3) 上式左边方括号中的函数只与变量 ρ 有关 , 而方括号外面的那一项只随 φ而变 . 为满足 (5.3.3), 这两项必须都等于常数 , 即 2221()gng φφ∂=−∂(5.34) 22 20()fknfρρρρρ ρ⎛⎞∂∂+ −=⎜⎟∂∂⎝⎠(5.3.5) 显然 , 方程 (5.3.4) 的解为 2()inngCeφφ±= (5.36) 而方程 (5.3.5) 可化为 ()22222() ()() 0ffknfρρρρρρ∂∂+ +− = (5.3.7) 这是一个宗量为 kρ ,阶数为 n 的贝塞尔方程 , 它的一般解为 () () (nnn n)f AJ k BN kρ ρ=+ρ (5.3.8) 其中 , 为 -阶贝塞耳函数 , 而( )nJ ⋅ n ()nN ⋅ 为 n -接阶纽曼函数 . 当宗量为实数时 , 前者在原点是有界的 , 而后者在原点处是奇异的 . 在许多方面情况下 , (5.3.7)的解用另外两个函数 和 来表达 (1)( )nH ⋅(2)()nH ⋅(1) (2)() ( ( )nnn nnf AH k BH kρ ρ=)+ρ (5.3.9) 这两个函数称为第一和第二类汉克尔函数 , 它们实际上由贝塞耳函数和纽曼函数来定义 (5.310) (1)() () ()nn nHxJxiNx=+(5.31) (2)() () ()nnnHxJxiNx=−将 (5.3.9) 和 (5.3.6) 所给的解代回到 (5.3.2)中 , 我们得到 (1) (2)(,) ( ( )innnnnAH k BH k eφψ ρφ ρ ρ⎡=)+⎣⎤⎦(5.3.12) 由于 (5.3.6)给出的两个线性无关解的区别仅在于指数项中的符号 , 所以 , 如果将这个符号包含到常数 n 中 , 则 exp( )inφ 所表示的解空间与 (5.3.6)表示的一样 . 基于这一考虑 , 式 (5.3.12)中关于变量 φ 的因子只采用了一项 . 还要指出一点 , 在具体问题中 , 到底采用 (5.3.8)还是采用 (5.3.9)中给出的解 , 要视情况而定 . 例如 , 当求解区域包含坐标原点 , 而且根据物理条件判断解在原点附近是有界的 , 则采用 (5.3.6)中的解 (取第一项即可 ). 反之 , 如果求解区域可延伸到无穷远处 , 则 (5.3.6)或 (5.3.9)给出的解都可采用 . 还有一种解的形式也经常在教科书和文献中见到 , (1)(,) ( ) (innnnnaJ k bH k eφψ ρφ ρ ρ⎡⎤=+)⎣⎦(5.3.13) 下面几小节中讨论圆柱散射问题时 , 我们就采用这个形式的解 . 这个解的径向因子的两项有比较明显的物理意义 , 即它的第一项 , ( )nJkρ , 代表的是驻波 , 而第二项是一个外向行 (进 )的波 . 以上我们引入了四个关于变量 ρ 的函数 : ( )nJkρ , ( )nNkρ , (1)(nHk)ρ 和(2)()nHkρ . 它们代表解随 ρ 的变化关系 . 这四个函数都称为柱函数 . 而由式 (5.3.12)给出的一个解称为一个柱波函数 . 任何其它解都可以由柱波函数的线性组合来构成 , 即 (1)(,) ( ) ( )ninnn n nnAJ k BH k eφψ ρφ ρ ρ=−∞⎡=+⎣∑⎤⎦(5.3.14) 有关柱函数的递推公式和特性列在本书附录中 , 这里就不细述了 . 5.3.2. 导体圆柱的散射 先考虑横磁 (TM) 波入射的情况 (这种波的磁场没有轴向分量 ).对于横磁波而言 , 所有电磁场分量都可以由电场的轴向分量 导出 . 因此 , 只要求得该分量的散射即可 . 如果圆柱的轴线为 坐标轴 , 则我们只须考虑一个入射方向 . zEz2axyinczE 图 5.3.1. 导体圆柱横截面及入射平面波示意图 为简单起见 , 通常取 . 这时 , 入射电场可写成 o0iφ =cosiikxikzEe eρ φ−−== (5.3.15) 这个入射场可以展开为 cos()ik innnneaJkeρ φρ∞−=−∞=∑φ(5.317) 展开系数 a 可以这样来求 . 首先 , 将上式两边同乘以nimeφ−, 并取对变量 φ 在区间[0,2 ]π 内的积分 22(cos ) ( )00()()2ik m in mnnnnn mnnedaJkeaJ kππρφφ φdφ ρφρπδ∞−+ −=−∞∞=−∞==∑∫∫∑于是 , 2(cos )02(ik mmnedaJπρφφ)kφ π ρ−+=∫另外 , 根据贝塞耳函数的积分表达式 , 我们有 2(cos ) /202()2ik m im mmmedeJkiJπρφφ π()kφ πρπ−+ − −−=−=ρi∫对照以上两式 , 可得 ann−= . (5.3.18) 散射场是外向传播的波 , 它的一般表达式为以下的级数 sca (1)()inznnnEbHkeφρ∞=−∞=∑(5.3.19) 这里 , 展开系数 b 取决于散射体的具体情况 . 如果散射体为理想导电圆柱 , 则圆柱体内的总电场为零 , 圆柱体外的总电场为入射场与散射场的迭加 ntot (1)(1)() ()() () ,in inznn nnninnn n nnEaJkebHkeaJ k bH k e aφφφρρρρ∞∞=−∞ =−∞∞=−∞=+⎡⎤ρ= +≥⎣⎦∑∑∑这里 , 为圆柱半径 . 现在 , 我们用边界条件来定常数 b . an (5.3.20) tot (1)() () )inznnnnEa aJkabHkaeφρ∞=−∞⎡== + =⎣∑0⎤⎦上式对任意 φ 都成立 , 由此导出 (5.321) (1)() ()0nn n naJ ka bH ka+=即 (1)()()nnnJkabHka=−n. (5.3.22) 将这个结果代到散射场的展开式中 , 得 sca (1)(1)()()()ninznnJkaEi HkHkaneφρ∞−=−∞⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦∑. (5.3.23) 为计算远区散射场 , 我们可采用汉克尔函数的大宗量渐进表达式 (1) [ (2 1) / 4]2() ,ik nnHk e kkρπρπρ−+→ρ→∞ (5.3.24) 根据二维雷达散射截面的定义 sca 22 inc 2||lim 2||zDzEEρσπρ→∞= (5.325) 如果入射场为单位平面波 , 则将 (5.3.23)代入上式 , 并利用 (5.3.24), 化简后得 2(/2)2(1)()22()ninnDnniJ kaekHkaφπσππ∞−=−∞−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑因为 , 所以上式又可写为 exp( / 2)niinπ−=−2()2(1)()4()innDnnJkaekHkaφπσπ∞−=−∞=∑(5.3.26) 对横磁波入射的情况 , 求解过程与上述类似 . 具体地说 , 是将 换成 , 并用 的边界条件来定展开系数 . 这样 , 我们有 zEzHzH入射磁场 inc cos()ikx ik n inznHe e iJkeρ φρ∞−− −=−∞== =∑φe(5.3.27) 散射磁场 sca (1)()inznnnHbHkφρ∞=−∞=∑(5.328) 总磁场 (5.3.29) total (1)() () ,znnnHiJkbHkeφρρ∞−=−∞⎡⎤=+⎣⎦∑inaρ≥根据磁场边界条件 total'(1)'0()(nznnnaHki J ka kb H kanρ−=∂0= ⇒+∂= 可定出展开系数 '(1)'()()n nnnJkabiHka−=− (5.3.30)上式中 , (1)'(1)'() ()() , ()nnnnxkax kadJ x dH xJka H kadx dx==== 5.3.3. 介质圆柱的散射 这时 , 我们要考虑外部和内部场 . 外部场的表达式与前一小节类似 . 对 TM 波入射情况 , 有 入射电场 inc cos(,) ( )ikx ik n inznEee iJkeρ φρφ ρ∞−− −=−∞== =∑φ(5.3.31) 散射电场 sca (1)(,) ( )inznnnEbHkeφρφ ρ∞=−∞=∑a, ρ ≥ (5.3.32) 因为内部场必须满足在坐标原点有限的条件 , 所以只能用驻波项1()innJk eφρ 来展开 tr1(,) ( )inznnnEcJkeφρφ ρ∞=−∞=∑a, ρ ≤ (5.3.33) 着里 , 上标 '' 代表透射场 , 即介质柱的内部区域的场 . 展开系数由电场和磁场在边界面上的切向分量连续的边界条件而定 . 为此 , 我们要导出磁场的切向分量 , 即tr ''Hφ. 由麦克斯韦方程 , iωμ∇× =EH 可知 (,)1(,)zEHiφρ φρφωμ ρ∂−=∂因此 , 我们有 inc '()nnnkHiJkiineφφρωμ∞−=−∞−=∑(5.34) sca (1)'(,) ( ) ,innnnkHbHkeiφφρφ ρ ρωμ∞=−∞−a= ≥∑(5.3.35) tr '111(,) ( ) ,innnnkHcJkeiφφρφ ρ ρωμ∞=−∞−a= ≤∑(5.3.36) 由电场切向分量连续的边界条件 : inc sca tr(,) (,) (,)zz zEa Ea Eaφ φφ+=, 得 (5.3.37) (1)1() () ( )nnnn niJka bH ka cJka−+=由磁场切向分量连续的边界条件 : inc sca tr(,) (,) (,)zHa Ha Haφφφ φφ+=, 得 (5.3.38) '(1' '11 1(/ ) ( ) ( ) ( / ) ( )nnnn n nkiJkabHkackJkωμ ωμ−⎡⎤+=⎣⎦a因为 k ω εμ= , 所以 //1/k ωμεμη==11 1/( ) 1/, k ωμη= , 代入上式可得 (5.3.39) 1' (1)' 1'11() () ( )nnnn ni J ka b H ka c J k aη−− −⎡⎤+=⎣⎦从上面的方程中可求出 ''11 1(1) ' ' (。