北师大版九年级期末点对点攻关之压轴练 第6章　反比例函数综合（三）.docx

九年级期末点对点攻关之压轴练：反比例函数综合（三）1．如图1，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（0，4），反比例函数y＝的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，将等边三角形AOB沿y轴正方向平移一定距离得到△A′O′B′，此时B′O′的中点D恰好落在反比例函数y＝的图象上，求等边三角形AOB平移的距离．2．如图，点A，B是反比例函数y＝的图象上的两个动点，过A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，分别交反比例函数y＝﹣的图象于点C、D，四边形ACBD是平行四边形．（1）若点A的横坐标为﹣4．①直接写出线段AC的长度；②求出点B的坐标；（2）当点A、B不断运动时，下列关于▱ACBD的结论：①▱ACBD可能是矩形；②▱ACBD可能是菱形；③▱ACBD可能是正方形；④▱ACBD的周长始终不变；⑤▱ACBD的面积始终不变．其中所有正确结论的序号是　 　．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．（1）点B的坐标　 　；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B、D正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45，求证：△ABC≌△BED．（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转45．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得　 　（填写两个三角形全等），所以CE＝　 　，AE＝　 　，C的坐标为　 　，则直线OB的解析式为　 　．（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B（3，0），AO＝AB＝，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点A．把△AOB向上平移a（a＞0）个单位长度得到△CDE．反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点C，交DE于点F．（1）求k1的值；（2）若DC＝DF，求a的值；（3）设反比例函数y1＝（x＞0）的图象交线段DE于点P（点P不与点E重合）．当DP＞PE时，请直接写出a的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y于点D，A（﹣6，0），C（6，0），tan∠ACB＝2，∠BAC＝45（1）则AC＝　 　；（2）反比例函数y＝的图象经过点B，求k的值；（3）段OD上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标（不用写过程）；若不存在，请说明理由．7．已知：直线l：y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与双曲线y＝（x＞0）交于点E（1，n）、F（1）求k的值（2）如图1，平移直线AB．若BE：BF＝1：m，求△OEF的面积（用含m的式子表示）（3）如图2，若直线l绕点B旋转得到直线l′，且直线l′与x轴交于点T（﹣1，0），与双曲线y＝（x＞0）交于点P，直线x＝a与l′交于点Q，与双曲线交于点R（不同于Q）．问a为何值时，PQ＝PR？8．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，6），过点A作AC⊥x轴于点C，点B是直线AC右侧的双曲线上的动点，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B作BD⊥y轴于点D，交AC于点F，连接AB、BC、CD、AD．（1）k＝　 　，四边形BFCM的面积随着B点的横坐标的增大而　 　．（填“减小”、“不变”或“增大”）；（2）四边形ABCD能否为菱形？若能，求出B点的坐标，若不能，说明理由；（3）延长AB交x轴于点E，试判断四边形BDCE的形状，并证明你结论．9．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有当a＝b时，等号成立．【获得结论】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m＝　 　时，m+有最小值　 　．【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．10．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点．（1）求点A的坐标和k的值；（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）过点B作BH⊥y轴于点H，∵A的坐标为（0，4），则OB＝OA＝4，则HB＝BO•sin∠AOB＝4sin60＝2，同理OH＝2，故点B（2，2），将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4，故反比例函数表达式为：y＝；（2）设△OAB向上平移的距离为m，则点B′（2，m+2），点O′（0，m），由中点公式得：点D（，m+1），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：m+1＝，解得：m＝3，故等边三角形AOB平移的距离为3．2．解：（1）①把x＝﹣4代入中，得y＝﹣2，∴A（﹣4，﹣2），把x＝﹣4代入中，得y＝，∴，∴；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝AC＝，设B点坐标为（t，），则D点坐标为（t，﹣），则，解得，t＝4，∴B（4，2）；（2）设A（a，），B（b，），则C（a，﹣），D（b，﹣），∵AC＝BD，∴，∴a＝﹣b，∴，∴AC与BC不可能垂直，故①、③错误；∵随着|a|不断变小，AC起来越大，BC起来越小，∴AC有可能与BC相等，故②正确；当a＝﹣1时，▱ACBD的周长＝2（AC+BC）＝2（10+2）＝20+4，当a＝﹣2时，▱ACBD的周长＝2（AC+BC）＝2（5+5）＝20，∵两个▱ACBD的周长不相等，∴④错误；∵BD＝，AC、BD之间的距离为b﹣a＝b﹣（﹣b）＝2b，∴，故⑤正确，综上，本题的正确答案是②⑤．故答案为②⑤．3．解：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，则∠AFD＝∠AEB＝90，∵点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），∴DF＝3，AF＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90，∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠ADF＝90，∴∠ADF＝∠BAE，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，∴B（﹣1，﹣3），故答案为（﹣1，﹣3）；（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），D′（﹣3，﹣7+2t），设经过B、D的反比例函数解析式为：y＝，∴k＝﹣1（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），解得，t＝，∴k＝﹣1（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，∴反比例函数的解析式为：；（3）设P（n，0），由（2）知B′（﹣1，6），D′（﹣3，2），①当BD为平行四边形的边时，则B′D′∥QP，B′D′＝QP，∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），把Q（n+2，4）代入中，得，4（n+2）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（，4），把Q（n﹣2，﹣4），代入中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，解得，n＝，∴Q（，﹣4）；②当BD为对角线时，则BD的中点坐标为（﹣2，4），∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），∴Q（﹣4﹣n，8），把Q点坐标代入中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，8），综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（，4）或（，﹣4）或（﹣，8）．4．解：（1）∵AB⊥BE，∠AEB＝45，∴AB＝BE，∵∠BED+∠EBD＝90，∠ABC+∠EBD＝90，∴∠BED＝∠ABC，在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，∴△ABC≌△BDE（AAS）；（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），则直线OB的解析式为y＝﹣3x；故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x；（3）如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，∵点A（3，3）和点B（0，2），∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴3﹣a+2﹣a＝3，解得a＝1，则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2，∴F（2，1），设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝2x﹣3①，把点A点坐标代入y＝并解得：k＝9，故反比例函数的表达式为：y＝②，联立①②并解得：（舍去）或，∴C（﹣，﹣6），故点C的坐标为：（﹣，﹣6）．5．解：（1）如图，过点A作AG⊥OB，垂足为G．∵点B（3，0），∴OB＝3，∵AO＝AB，∴，在Rt△AOG中，AO＝，∴AG＝2，∴A点的坐标为．∴k1＝2＝3；（2）由题意得C点的坐标为，∵，∴F点的坐标为，∵点C，F都在反比例函数的图象上，∴，解得a＝3；（3）平移后，点D（0，a），点P（，a），点E（3，a），当△CDE的顶点E落在y1上时，点P与点E重合，此时，点E（3，1），∴a＝1，当DP＝PE时，即＝3﹣，解得：a＝2（经检验a＝2是方程的根），故点，∴a＝2，∴当DP＞PE时，1＜a＜2．6．解：（1）6﹣（﹣6）＝12．故答案为：12．（2）过点B作BE⊥x轴，如图1所示．设BE＝m，则CE＝＝m，AE＝＝m．∵AE+CE＝12，∴m+m＝12，∴m＝8，∴OE＝OC﹣CE＝6﹣8＝2．∴点B的坐标为（2，8）．（3）∵点B的坐标为（2，8），BD⊥y于点D，∴点D的坐标为（0，8），∴BD＝2．∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA＝6．设点P的坐标为（0，n）（0＜n＜8），则OP＝n，DP＝8﹣n．∵∠AOP＝∠BDP＝90，以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，∴＝或＝，即＝或＝，解得：n＝。