相似形与相似三角形专题复习.docx

学习必备 欢迎下载第一节：相像形与相像三角形基本概念： 1.相像形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相像形； 2.相像三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相像三角形；1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理 ）（ 1）平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 .已知 a∥ b∥ c,A D aB E bC F cAB可得 BCDE AB或EF ACDE BC或DF ABEF BC或DF ACEF AB BC或DF DE EF 等.（ 2 ） 推 论 : 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 它 两 边 〔 或 两 边 的 延 长 线 〕 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 .AD EAD AE BD或B CEC AD AE或由 DE ∥ BC 可得： DB ECAD EAAB AC.此推论较原定理应用更加广泛 ,条件是平行 .（ 3）推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边 〔或两边的延长线 〕所得的对应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边 .此定理给出了一种证明两直线平行方法 ,即：利用比例式证平行线 .（ 4）定理 :平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 .（ 5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像；②比例线段：四条线段 a， b， c， d 中，假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即线段 a， b， c，d 叫做成比例线段，简称比例线段；2．比例的有关性质a ＝ c ，那么这四条b d①比例的基本性质：假如a c a c，那么 ad=bc；假如 ad=bc（a，b，c，d 都不等于 0），那么 ；b d b da②合比性质：假如bc a b c d，那么 ；d b d③等比性质：假如 abc= . . . =dm a〔b+d+ . . . +n≠0〕，那么n bc . . . m ad . . . n b④ b 是线段 a、 d 的比例中项，就 b2＝ ad.学习必备 欢迎下载典例剖析例 1：① 在比例尺是 1：38000 的南京交通游玩图上， 玄武湖隧道长约 7cm，就它的实际长度约为 Km.② 如 a = 2 就b 3a b = .b③ 如 a 2a2b = 9 就 a： b= .b 53．相像三角形的判定（ 1）假如两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相像；（ 2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相像；（ 3）三边对应成比例的两个三角形相像；补充：相像三角形的识别方法〔1〕定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相像；〔2〕平行线法： 平行于三角形一边的直线和其它两边 〔或两边的延长线 〕相交， 所构成的三角形与原三角形相像；留意：适用此方法的基本图形， 〔简记为 A 型， X 型〕〔3〕三边对应成比例的两个三角形相像； 〔4〕两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相像；AE DE D A〔5〕两角对应相等的两个三角形相像； B C B C〔6〕一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相像；〔7〕被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相像；【基础练习】（ 1）如图 1，当 时，△ ABC ∽ △ADE（ 2）如图 2，当 时， △ ABC ∽ △ AED ；（ 3）如图 3，当 时， △ ABC ∽ △ ACD ；A A AD E DDEB C B C图1 图2B图3 C小结：以上三类归为基本图形：母子型或 A 型（ 3）如图 4，如图 1，当 AB ∥ ED 时，就△ ∽△ ；（ 4）如图 5，当 时，就△ ∽△ ；A B ABCCDE ED小结：此类图开为基本图开：兄弟型或 X 型学习必备 欢迎下载典例剖析例 1：判定①全部的等腰三角形都相像． （ ）②全部的直角三角形都相像． （ ）③全部的等边三角形都相像． （ ）④全部的等腰直角三角形都相像． （ ）例 2：如图，△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， AD 的垂直平分线交 AD 于 E,交 BC 的延长线于 F求证： △ ABF ∽ △ CAF.AEBD C FA例 3：如图：在 Rt △ ABC 中， ∠ABC=90 ， BD ⊥ AC 于 D ，如 AB=6 ；AD=2 ；就 AC= ； BD= ； BC= ； DB C例 3： 如图：在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC=90 ， BD⊥ AC 于 D ，如 E 是 BC 中点， ED 的延长线交 BA的延长线于 F，F求证： AB : AC=DF : BFA DB E C其次节：相像三角形的判定〔一〕相像三角形：定义 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相像三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个 〔或几个 〕三角形的三个角对应相等， 且三条对应边的比相等时，这两个 〔或几个 〕 三角形叫做相像三角形，即定义中的两个条件，缺一不行；②相像三角形的特点：外形一样，但大小不肯定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相像比；④两个钝角三角形是否相像，第一要满意两个钝角相等的条件；2、相像三角形对应边的比叫做相像比． 温馨提示：①全等三角形肯定是相像三角形， 其相像比 k=1 ．所以全等三角形是相像三角形的特例．其区分在于学习必备 欢迎下载全等要求对应边相等，而相像要求对应边成比例．②相像比具有次序性．例如△ ABC ∽△ A′B′的C′对应边的比，即相像比为 k，就△ A′B′∽C′△ ABC 的相像比 ，当且仅当它们全等时，才有 k=k′=．1③相像比是一个重要概念，后继学习时显现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相像三角形可观看得出． 3、假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相像多边形．4、相像三角形的预备定理： 假如一条直线平行于三角形的一条边， 且这条直线与原三角形的两条边 〔或其延长线 〕分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相像．温馨提示：①定理的基本图形有三种情形，如图其符号语言：∵DE ∥ BC ，∴△ ABC ∽△ ADE ；②这个定理是用相像三角形定义推导出来的三角形相像的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相像三角形三个判定定理的基础，故把它称为 “预备定理 ”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节 “见平行，想比例 ”，仍要想到 “见平行，想相像 ”．〔二〕相像三角形的判定 1、相像三角形的判定：判定定理 〔1〕：两角对应相等，两三角形相像．判定定理 〔2〕：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像． 判定定理 〔3〕：三边对应成比例，两三角形相像．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等 〔包括隐含的公共角或对顶角 〕时，可考虑利用判定定理 1 或判定定理 2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3．但是，在挑选利用判定定理 2 时，一对对应角相等必需是成比例两边的夹角对应相等．例 1.如图三角形 ABC 中，点 E 为 BC 的中点，过点 E 作一条直线交 AB 于 D 点，与 AC 的延长线将于 F 点，且 FD=3ED ，求证： AF=3CF2、直角三角形相像的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相像．温馨提示：①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相像时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相像；②如图是一个非常重要的相像三角形的基本图形， 图中的三角形， 可称为 “母子相像三角形 ”，其应用较为广泛．学习必备 欢迎下载③如图，可简洁记为：在 Rt△ABC 中， CD ⊥ AB ，就△ ABC ∽△ CBD ∽△ ACD ．直角三角形的身射影定理： AC 2=AD*AB CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB总结：查找相像三角形对应元素的方法与技巧正确查找相像三角形的对应元素是分析与解决相像三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：〔1〕 相像三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相像三角形中最大的角 〔或最小的角 〕肯定是对应角；相像三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；〔2〕 相像三角形中， 一对最长的边 〔或最短的边 〕肯定是对应边； 对应边所对的角是对应角； 对应边所夹的角是对应角．2、常见的相像三角形的基本图形：学习三角形相像的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相像三角形中来；对一些显现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相像三角形的判定思路要善于总结， 形成一整套完整的判定方法．如：(1) “平行线型 ”相像三角形，基本图形见上节图． “见平行，想相像 ”是解这类题的基本思路；(2) “相交线型 ”相像三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角． “见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例 ”是解这类题的基本思路；(3) “旋转型 ”相像三角形，如图．如图中∠ 1=∠ 2，∠ B= ∠ D〔 或∠ C= ∠ E〕，就△ ADE ∽△ ABC ，该图可看成把第一个图中的△ ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的．．第三节 相像三角形中的帮助线一、作平行线例 1. 如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD ＝AE ， DE 延长线与 BC 延长线相交BF BD于 F，求证：CF CE学习必备 欢迎下载BDA E CF例 2. 如图，△ ABC 中， AB