复变函数讲义第6章课件.ppt

第一节第一节 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点的概念和分类二、函数的零点与极点的关系三、小结与思考1一、孤立奇点一、孤立奇点1 1 定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析, 但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, 则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.例例如如是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 奇点并不一定都是孤立的奇点并不一定都是孤立的例例如如:的孤立奇点的孤立奇点.22 2 孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:可去奇点可去奇点洛朗级数中不含洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项极极 点点洛朗级数中含有限个洛朗级数中含有限个 的负幂项的负幂项 本性奇点本性奇点洛朗级数中含无穷多个洛朗级数中含无穷多个 的负幂项的负幂项 3其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明: (1)1)可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.定义定义4(2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, 补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.若若为为的可去奇点，的可去奇点，则则 存在存在性质性质5如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例1 函数函数中不含负幂项中不含负幂项,故故 是是的可去奇点的可去奇点 . 的孤立奇点的孤立奇点 的类型的类型解：解：62) 极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的 负幂项负幂项, 7说明说明:的极点的极点 , 则则为函数为函数如果如果定义式可改写为：性质性质其中，且8例例2 函数函数是三阶极点是三阶极点, 是一阶极点是一阶极点.课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点, 如果是极点如果是极点, 指出它的指出它的级数级数.答案答案9解解 解析且解析且所以所以不是二阶极点不是二阶极点, 而是一阶极点而是一阶极点.例例3 问问是是的二阶极点吗的二阶极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .10本性奇点本性奇点3)定义定义 如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的的本性奇点本性奇点.的的负幂项负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 性质：性质：不存在且不为不存在且不为同时同时不存在不存在.的本性奇点的本性奇点 , 则则为函数为函数若若11综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m阶极点阶极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为12二二 函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系1 零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末称为称为的的 m 阶零点阶零点.例例6注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.132 零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:设设的泰勒展开式为的泰勒展开式为:如果如果在在解析解析, 那末那末为为的的阶阶如果如果为为的的阶零点阶零点14其中其中展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:并且并且充分性证明略充分性证明略 .15(1)由于由于知知是是的一阶零点的一阶零点 .课堂练习课堂练习是五阶零点是五阶零点,是二阶零点是二阶零点.知知是是的一阶零点的一阶零点.解解 (2)由于由于答案答案例例4 求以下函数的零点及阶数求以下函数的零点及阶数:(1)(2)的零点及阶数的零点及阶数 .求求163 3 零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果是是的的 m 阶极点阶极点, 那末那末就是就是的的 m 阶零点阶零点. 反过来也成立反过来也成立.说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .17例例5　求　求 的孤立奇点的孤立奇点, 并指出并指出 奇点的类型奇点的类型. 解解 显然显然, 是是 的零点，但是的零点，但是 故故 是是 的的1阶零点零点. 因此因此, 是是 f (z)的的1阶极点阶极点 . 18推论推论　设　设 z0是是P(z)的的m级零点级零点,也是也是Q(z)的的n级零点级零点, 则当则当n>m时时, z0是是f (z)的的n-m级级极点极点; 而当而当n m时时, z0是是f (z)的可去奇点的可去奇点. 例例6　考虑函数　考虑函数 设设 显然显然, z=0是是Q(z)的的5阶零点阶零点. 因因为为所以所以, z=0是是P(z)的的2级零点级零点. 故故z=0是是f (z)的的3阶极点阶极点 . 不是不是5 5阶极点阶极点! !19例例7 函数函数有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的阶数指出它的阶数.解解 函数函数除点除点外外, 所以这些点都是所以这些点都是的一阶零点的一阶零点,故这些点中除故这些点中除1, -1, 2外外, 都是都是的三阶极点的三阶极点.内解析内解析 .在在20所以，所以，所以，所以，是是的可去奇点的可去奇点. 因为因为21课堂练习课堂练习22四、小结四、小结1、可去奇点的判别方法、可去奇点的判别方法(1)由定义判断由定义判断: : 将将f (z)在其孤立奇点在其孤立奇点 z0 的去心邻域的去心邻域内展开成洛朗级数，若洛朗级数中不含内展开成洛朗级数，若洛朗级数中不含z-z0 的负的负(2)由极限判断：由极限判断：若极限若极限 存在且为有限值存在且为有限值,则则z0是是f (z)的可去奇点的可去奇点.幂项，幂项，则孤立奇点则孤立奇点z0是是f (z)的可去奇点的可去奇点.232、、极点的判定方法极点的判定方法的负幂项的负幂项.洛朗展开式中含有有限个洛朗展开式中含有有限个在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 (1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限判别利用极限判别(4) 利用零点和极点的关系判别利用零点和极点的关系判别24定理定理如果如果是是的的 m 阶极点阶极点, 那末那末就是就是的的 m 阶零点阶零点. 反过来也成立反过来也成立.3、本性奇点的判别方法、本性奇点的判别方法(1)由定义判断由定义判断: :洛朗级数中含无穷多个洛朗级数中含无穷多个z-z0 的负的负幂项幂项.(2)由极限判断：由极限判断： 极限极限 不存在且不为不存在且不为∞.25练习题：下列函数有哪些奇点？各属于什么类练习题：下列函数有哪些奇点？各属于什么类型？若是极点，指出它的阶数。

型？若是极点，指出它的阶数26答案答案（（2））为为的可去奇点的可去奇点.27第二节 留数定理28R4.2.1 留数定义及留数基本定理设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则存在则存在 R>0,内内Laurent在在.使得使得f (z)在在内解析内解析.级数为级数为在在 内取分段光滑正向简单曲线内取分段光滑正向简单曲线C , 2900.曲线曲线C包含包含z0在其内部在其内部. 考虑积分考虑积分 根据根据 , 积分与曲线积分与曲线C的选取无关的选取无关 30即即定义定义 设设z0是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点, C是在是在z0的充分的充分小邻域内包含小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单曲线，在其内部的分段光滑正向简单曲线，积分积分 称为称为f (z)在在z0点的点的留数留数(Residue), 记做记做 函数函数 f (z)在孤立奇点在孤立奇点z0点的留数即是其在以点的留数即是其在以 z0为中心的圆环域内为中心的圆环域内Laurent级数级数-1次幂项的系数次幂项的系数. 31留数定理留数定理 设函数设函数f (z)在区域在区域D内除有限内除有限个孤立奇点个孤立奇点外处处解析外处处解析, C是是D内内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单闭曲线闭曲线, 则则 根据留数定理根据留数定理, 函数在闭曲线函数在闭曲线f (z)上的积分可上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题问题. 32证明　分别以证明　分别以 为为 中心中心, 作半径充分小的正向圆周作半径充分小的正向圆周 ...…C1C2Cn使得它们中的每个使得它们中的每个都在其余的外部都在其余的外部, 而都在而都在C的内部的内部. 根据根据 , 再由留数的定义再由留数的定义, 即得即得33第三节 留数的计算34(1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 则则如果如果 为为 的的1阶极点阶极点, 那么那么•法则法则1 1成成Laurent级数级数, 求求(3) 如果如果为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, 展开展开则需将则需将)(zf留数的计算方法留数的计算方法35证明　由于证明　由于z0是是 f (z)的的1阶极点，所以在阶极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为级数展开式为 故故所以所以 36例例1　求　求 和和 在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数. 由于由于 z=0是是g(z)的的1阶极点，于是阶极点，于是易知易知z=1和和z=2都是都是 f (z)的的1阶极点，故阶极点，故 37•法则法则2 2设设及及在在都解析都解析. 如果如果那么那么为为f (z)的的1阶极点阶极点, 并且并且证明证明 由条件易知由条件易知z0是是f (z)的的1阶极点阶极点. 于是于是38例例2　求　求 在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数.处解析，且处解析，且 所以所以 是是 f (z)的的1阶极点，并且阶极点，并且 显然显然 和和 都在都在 39如果如果 为为 的的 阶极点阶极点, 取正整数取正整数 •法则法则3 3证明证明 由于由于z0是是 f (z)的的m阶极点，所以在阶极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为级数展开式为 那么那么因此因此40对上式求对上式求阶导数阶导数, 得得 +(含有含有 正幂的项正幂的项),所以所以于是于是41例例3　求　求 在在z= -1处的留数处的留数. 解解 显然显然z= -1是是f (z)的的n阶极点，所以阶极点，所以 42如果如果z0是是f (z)的的m阶极点，有时在阶极点，有时在 中取中取n>m来计算更为方便来计算更为方便.例例4　求　求 在在z=0处的留数处的留数. 根据根据 可知可知, z=0是是f (z)的的3阶极点阶极点, 在在 法则法则3中取中取n=5, 则则 如果在法则如果在法则3中取中取n=3, 那么计算就要麻烦得多那么计算就要麻烦得多.43例例5 　计算积分　计算积分 其中其中C是是 的正向的正向. 的的1阶极点，并且都在阶极点，并且都在C的内部的内部. 所以所以 根据留数定理和法则根据留数定理和法则2, 　　 显然显然 是函数是函数44极点极点z=3在在 的外部的外部. 分别是分别是f (z)的的3阶和阶和1阶极点阶极点, 都在都在 的内部的内部. 而而 例例6 计算算积分分其中其中C是是 的正向的正向. 记记 显然显然z=0和和z=145于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理46例例7 求求 在在z=0处的留数，并求处的留数，并求 其中其中C是是 的正向的正向. 解解 易见易见z=0是函数是函数f (z)的本性奇点，并且的本性奇点，并且 因此因此于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理47小结u留数定理u留数的计算法则48Karl Weierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家德国数学家. 曾在波恩大学学曾在波恩大学学习法律习法律, 1838年转学数学年转学数学. 后来成后来成为中学教师为中学教师, 不仅教数学、物理不仅教数学、物理, 还教写作和体育还教写作和体育, 在这期间刻苦进行数学研究在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任年到柏林大学任教教, 1864年成为教授年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位是将严格的论证引入分析学的一位大师大师, 他发现了处处不可微的连续函数他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一与其他一些些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.49 一、形如 的积分 二、形如 的积分三、形如 的积分第三节第三节 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用四、小结与思考50一一、形如、形如 的积分的积分思想方法思想方法 :封闭路线的积分封闭路线的积分 .两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条51形如形如当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周52f (z)是有理函数是有理函数. 如果在如果在单位圆周内部单位圆周内部f (z)的所有孤立奇点的所有孤立奇点.满足满足 的条件的条件.单位圆周上分母不为零单位圆周上分母不为零, 1.1.被积函数的转化被积函数的转化2.2.积分区域的转化积分区域的转化53例例1 计算积分计算积分解解则则54记 ，则55若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可 .二、形如二、形如 的积分的积分562. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可可取取 f(z)=R(z) .57这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内都包在这积分路线内.xy. z1. z2. zn…-RR58根据留数定理得根据留数定理得 :当当 充分大时充分大时, 总可使总可使59 R(z)在上半平面内的全体孤立奇点在上半平面内的全体孤立奇点 60例例2　计算广义积分　计算广义积分 解　记解　记且且 和和 是是 f (z) 在上半平面的孤立奇点在上半平面的孤立奇点,都是都是f (z)的的1阶极点阶极点. 因此，因此， 61于是，于是，62积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(z)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.与与曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内包在这积分路线内 .同前一型同前一型: 补线补线一起构成封闭一起构成封闭都都三、形如三、形如 的积分的积分xy. z1. z2. zn…-RR63对于充分大的对于充分大的 , 且且 时时, 有有64从而从而65由留数定理由留数定理:66例例3 　计算积分　计算积分 解　记解　记 则则是是f (z)在上半平面的全体孤立奇点在上半平面的全体孤立奇点, 都是都是1阶极点阶极点. 67其实部其实部(虚部为零虚部为零)就是所要求的积分，即就是所要求的积分，即68例例4 　计算积分　计算积分 解解 记记 则则 是是 f (z)在上半在上半平面内惟一的孤立奇点平面内惟一的孤立奇点, 且是且是1阶极点阶极点. 69四、小结与思考四、小结与思考 本课我们应用本课我们应用“围道积分法围道积分法”计算了三类实计算了三类实积分积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点点.70留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系留数定理留数定理留数在定积分留数在定积分计算中的应用计算中的应用本章内容总结712. 留数的计算留数的计算4. 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用本章的重点本章的重点1. 孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类3. 留数基本定理及在复变函数积分中的应用留数基本定理及在复变函数积分中的应用72。