巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题.doc

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例 1 】求 y= | x+3 | + | x+2 | + | x+1 | + | x| + | x-1 | + | x-2 |+ | x-3|的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义,另一个几何意义，但-般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义绝对值的代数意义：|a | =a, (a> 0); |a | =— a, (av 0)绝对值的几何意义：|a|是数轴上表示数a的点到原点的距离众所周知，如果数轴上有两点A,B ,它们表示的数分别为a, b (a< b),则A,B之间的距离：| AB |=| a-b |(如图1)ABab设点X在数轴上表示的点为x,则|x-a | + |x-b |表示点X到点A和点B的距离之和：| XA| + | XB|,A工XB—aXb由图2可以看出，如果X在A, B两点之间，那么丨XA| + | XB|可以取到最小值丨 AB|,即：当 awxWb 时，| x-a | + | x-b | 取最小值 | a-b | ;同样，设点 C在数轴上表示的点为 c,(a< b< c)，则| x-a | + | x-b | + | x-c |表示点X到点A、点B和点C的距离之和：| XA| + | XB| + | XC|,A X(B) C人a x(b) c由图3可以看出，如果X落在B点，那么丨XA| + | XB| + | XC|可以取到最小值丨 AC|,即：当 x=b 时，| x-a | + | x-b | + | x-c | 取最小值 | a-c |。

一般说来，设 f(x)= | x-a ? | + | x-a ? | + | x-a ? | +???+1 x-a n | ,其中a?Wa ?w…Wa n,那么：当 n 为偶数时，fmin(x)=f(a)，其中 an/2 wa

下面我们利用这一原理解决更多的问题例2】已知y=? | x+1 | +2 | x-1 | + | x-2 |，求y的最小值解】y=?(2I x+1 | +6I x-1 | +3 | x-2 |)=?( | x- (-1 ) | + | x- ( -1 ) | +| x-1 | +x-1 |+ | x-1| + | x-1 |+ | x-1 | +| x-1| + | x-2 | + | x-2 | + | x-2| )•••有11个绝对值相加，11为奇数，•••当x=as,即x=1时，y最小为：?(2 |1+1 | +31-2 |)=? ( 4+3) =7/3【例3】已知| a+3 | + | a-5 | =8，求a的取值范围解】•.•当-3waW5时，| a+3 | + | a-5 |的最小值为 8,—a的取值范围是-3w aW5【例 4】已知 2 | a+1 | + | a-2 | + | b+1 | +4 | b-5 | =9，求 ab 的值解】••• 2 | a+1 | + | a-2 | = | a+1 | + | a+1 | + | a-2 |，当 a=-1 时，最小值为 3; |b+1 | +4 | b-5 | = | b+1 | + | b-5 | + | b-5 | + | b-5 | + | b-5 |，当 b=5 时，最小值为6,••• 2 | a+1 | + | a-2 | + | b+1 | +4 | b-5 | > 9,只有当 a=-1 , b=5 时，原式=9,.•.a b=（ -1）5=-1【例5】如图4, 一条公路旁有 6个村庄，分别为 A, B, C, D, E, F,现在政府要在公路边建一个公交站，请问建在哪一段比较合理【分析】所建公交站应该到各村的距离之和最小，以公路为数轴，设 A, B, C, D, E,F在数轴上表示的数分别为： a,a,c,d,e,f ，则a< a< c< d< e< f,故当所建公交站到C村和D村之间。