高等数学第九章.ppt

湖南教育出版社第九章 无穷级数 • 9.1 常数项级数 • 9.2 常数项级数的审敛法 • 9.3 幂级数 • ＊ 9.4 傅立叶级数 • ＊ 9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数 • ＊ 9.6 傅立叶级数的复数形式下页湖南教育出版社 9.1 常数项级数1.常数项级数的概念2. 级数的基本性质首页上页下页湖南教育出版社 9.1 常数项级数1.常数项级数的概念定义1 设给定一个数列常数项无穷级数(数项级数或级数)通项或一般项首页上页下页湖南教育出版社构成的级数为例如由数列取前n项和 http://www.qr 9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社定义2 对于级数 ，它的前n项和称为级数的部分和.收敛则称级数 是发散的.当 时，如果Sn没有极限， 9.1 常数项级数余项 首页上页下页湖南教育出版社例1 判断级数 是否收敛？若收敛，求它的和. 9.1 常数项级数解级数的部分和所以级数收敛，其和等于1.首页上页下页湖南教育出版社例2 讨论级数 的收敛性. 解级数的部分和所以级数收敛，其和等于3.9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社例3 讨论级数 的收敛性. 解级数的部分和当n趋向无穷大时，它是摆动的，极限不存在， 所以级数发散.9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社例4 讨论级数 的收敛性. 解级数的部分和所以级数发散.9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社一般地，无穷级数 称为等比级数（又称为几何级数），其中a≠0，q叫作级数的 公比.当|q|<1时，等比级数收敛且其和为 ，当|q|≥1时，等比级数发散.9.1 常数湿疹偏方项 级数首页上页下页湖南教育出版社例5 无穷级数 称为调和级数. 试证明它是发散的.证n个小矩形的面积和为9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社 9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社性质1 如果级数 收敛，其和为s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为k·s.证 设级数 与级数 的部分和分别为sn与 ，9.1 常数项级数2. 级数的基本性质首页上页下页湖南教育出版社性质2 若级数 与 都收敛， 其和分别为s与 ，则级数 也收敛，且其和为 .9.1 常数项级数证设和 收敛，首页上页下页湖南教育出版社例6 判定级数 的收敛性.若收敛，湿疹偏方则求其和. 解它们都是收敛的.和的等比数列，分别是公比为由性质2知9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社 9.1 常数项级数性质3 在级数 中去掉、或添加、或改变有限项，不改变级数的收敛性或发散性. 性质4（级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则通项 的极限为零，即证首页上页下页湖南教育出版社注意 级数 的通项趋近于0只是收敛的必要条件，而不是充分条件.即，如果级数的通项趋近于0，不能断言它是收敛的.推论 如果级数 的通项un当 时不趋近于0，即，则级数 是发散的.9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社例7 证明级数 是发散的.证所以级数是发散的.9.1 常数项级数首页上页下页湖南教育出版社1. 正项级数的审敛法9.2 常数项级数的审敛法2. 交错级数的审敛法3. 绝对收敛与条件收敛首页上页下页湖南教育出版社1. 正项级数的审敛法定义19.2 常数项级数的审敛法如果 数列有界，则根据单调有界的数列必有极限的准 则知，级数 必收敛，反之亦然. 首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法达朗贝尔（d’Alembert）判别法 首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社2. 交错级数的审敛法定义29.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法解首页上页下页湖南教育出版社3. 绝对收敛与条件收敛9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社 9.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社定义39.2 常数项级数的审敛法首页上页下页湖南教育出版社定义49.2 常数项级数的审敛法注意 虽然每个绝对收敛级数都是收敛的，但并不是每个收敛级数都是绝对收敛的.收敛发散首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数1. 幂级数的概念2. 幂级数的运算性质3. 函数展开成幂级数4. 幂级数展开式在近似计算上的应用举例首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数1. 幂级数的概念定义1例如 首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社定义29.3 幂级数幂级数的系数 幂级数的一般形式是首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数幂级数收敛域求法 (比值审敛法) 首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社2. 幂级数的运算性质性质1两个幂级数在它们的收敛区间的公共部分内可以进 行逐项相加、相减，即性质29.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社性质3性质49.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数求导首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社3. 函数展开成幂级数9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数………………………………………………首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数如果函数f(x)在区间(-R,R)内满足条件则f(x)能在区间(-R,R)内展开为幂级数. 首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社几个重要的初等函数的幂级数展开式：9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社4. 幂级数展开式在近似计算上的应用举例9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 9.3 幂级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数1.三角级数2.周期为 的函数展开为傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数1.三角级数三角级数一般形式为三角函数系首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社三角函数系中两个相同函数的乘积在区间上 的积分不等于零. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社2.周期为 的函数展开为傅立叶级数00*9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社00*9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社00*9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社将f(x)展开为傅立叶级数. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社f(x)的傅立叶级数为*9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社级数的和函数的图像如下图所示. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社将f(x)展开为傅立叶级数. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社级数的和函数的图像如下图所示. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社周期为2π的奇函数f (x)展开成傅立叶级数 正弦级数 周期为2π的偶函数f (x)展开成傅立叶级数 余弦级数 *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社将f(x)展开为傅立叶级数. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社级数的和函数的图像如下图所示. *9.4 傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社注意如果x是函数f(x)的间断点,根据收敛定理,应以平均值代替上述各式中左边的f (x).*9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社设f (x)是周期为4的周期函数，它在[-2,2)上的表达式为例1(A为不等于0的常数). 将f (x)展开为傅立叶级数. 解*9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社级数的和函数的图像如下图所示. *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社将函数f (x)=x+1 (0≤x≤1)展开成正弦级数. 例2解 将f (x)=x+1 (0≤x≤1)奇延拓成以2为周期的周期函数F (x), F (x)是以2为周期的奇函数,且当0≤x≤1时,F (x) ≡ f (x). *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社函数f (x)的正弦级数为 *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社 *9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数首页上页下页湖南教育出版社*9.6 傅立叶级数的复数形式设以2L为周期的函数f(x)满足收敛定理的条件，则f (x) 的傅里叶级数为首页上页下页湖南教育出版社*9.6 傅立叶级数的复数形式首页上页下页湖南教育出版社*9.6 傅立叶级数的复数形式首页上页下页湖南教育出版社傅立叶级数的复数形式 *9.6 傅立叶级数的复数形式首页上页下页湖南教育出版社将f (x)展开成复数形式的傅立叶级数. *9.6 傅立叶级数的复数形式首页上页下页湖南教育出版社*9.6 傅立叶级数的复数形式首页上页下页。