福建师范大学21秋《近世代数》在线作业二答案参考67.docx

福建师范大学21秋《近世代数》作业二答案参考1. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．因A～B，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B．由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵．2. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解．求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解．3. 设行列式,Ai2为元素ai2的代数余子式(i=1，2，3，4)，试求：(1)行列式D；(2)A12+A22+A32+A32设行列式,Ai2为元素ai2的代数余子式(i=1，2，3，4)，试求：(1)行列式D；(2)A12+A22+A32+A32(1)108  (2)294. 若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关． 若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关．  若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性无关？[例] 上题中，α1不能由α2，α3线性表出，但α1，α2，α3线性相关．5. 比较下列各题中的两个积分的大小：比较下列各题中的两个积分的大小：因为0≤x≤1，所以x2≥x4(“=”成立的z只有有限个)，又因为x2，x4是连续函数，故∫01x2dx＞∫01x4dx,即I1＞I2$因为1≤x≤2，所以x2≤x4(“=”成立的x只有有限个)，且x2，x4是连续函数，所以∫12x2dx＜∫12x4dx,即I1＜I2$因为3≤x≤4，所以Inx＞1，所以Inx＜(Inx)3，且Inx，(Inx)3是连续函数，所以∫34lnxdx＜∫34(1nx)3dx，即I1＜I2$设f(x)=ln(1+x)-x，则(0＜x＜1)，故当0≤x≤l时，f(x)单调递减，故f(x)＜f(0)=0，即ln(1+x)＜x(0＜x≤1)，所以∫01In(1+x)dx＜∫01xdx故I1＞I2$由于x＞0时，1n(1+x)＜x，所以1+x＜ex，因此I1＞I26. 计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk．计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk．(1)div(ugradv)=▽·(u▽v)=▽u·▽v+u(▽·▽v)=gradu·gradv+u▽v．    (2)r=(x,y,z),divr=▽·(x,y,z)=3 7. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果．设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有    |A∪B|=50-17=33    根据容斥原理    |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|    |A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=21+26-33=14    故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下：   8. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d． [提示：应用综合除法． ]设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d．   [提示：应用综合除法． ]由            可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商． 算式如下：        结果有  f(x)=2x3-x2-3x-5            =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13． 9. 方程y"-4y&39;+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y&39;=______；方程y"-4y'+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y'=______；xe2x(Ccosx+Dsinx)．10. 设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。

lt设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______  711. 曲线( )． (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线． (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线曲线(  )．  (A)没有渐近线  (B)仅有水平渐近线．  (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线D直线x=0及y=1分别是该曲线的铅直渐近线与水平渐近线．12. 用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数广义13. 设f(x＋y，x－y)=x2－xy，试求f(x，y)．设f(x+y，x-y)=x2-xy，试求f(x，y)．14. 与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵．与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵．正确答案：设A为对合矩阵即A2=IB与A相似则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I即B2=I．故B仍然是对合矩阵．设A为对合矩阵,即A2=I,B与A相似,则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I,即B2=I．故B仍然是对合矩阵．15. 设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2．设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2．E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4    =[D(X)+E2(X)]+4E(X)+4=30 16. 设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α1，则( )．A．当λ1=λ2时，α1与α2成比例B．当设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α1，则( )．A．当λ1=λ2时，α1与α2成比例B．当λ1=λ2时，α1与α2不成比例C．当λ1≠λ2时，α1与α2成比例D．当λ1≠λ2时，α1与α2不成比例正确答案：D17. 若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线．若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线．正确答案：证法1 由两曲线的从法线重合可设 其中S为曲线x(s)的弧长而为另一曲线\r\n的参数未必为其弧长．对s求导得=V1(s)一λ(s)v(s)V2(s)+λ\"(s)V3(s)．因为\r\n两边用V3(s)作内积得λ\"(s)=0λ(s)=λ0(常数)x\"(s)=V1(s)一λ0τ(s)V2(s)．于是 ．\r\n因此．这是公共的从法向即\r\n故λ0τ2(s)=0．如果使得τ(s0)≠0则λ0=0．再由于λ(s)=λ0为常数故λ(s)=λ0≡0且\r\n即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs)根据定理1．2．2x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a．由于λ(s)≡λ0(常数Vs)故x\"(s)=x(s)+λ(s)V3(s)=x(s)+λ0V3(s)=x(s)+λ0a．显然x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移λ0得到的所以它也是平面曲线．\r\n证法2依题意有 ．\r\n两边关于t求导得\r\n因为点乘(作内积)V3(t)得到λ\"(t)=0\r\n 即 λ(t)=λ0(常数)．从而由前式有再对上式求导得因为故点乘V3(t)得\r\n如果λ0=0则即两曲线重合．如果λ0≠0则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导得两条曲线\r\n与x(t)都为平面曲线．证法1由两曲线的从法线重合,可设,其中S为曲线x(s)的弧长,而为另一曲线的参数,未必为其弧长．对s求导,得=V1(s)一λ(s)v(s)V2(s)+λ\"(s)V3(s)．因为,两边用V3(s)作内积,得λ\"(s)=0,λ(s)=λ0(常数),x\"(s)=V1(s)一λ0τ(s)V2(s)．于是．因此．这是公共的从法向,即,故λ0τ2(s)=0．如果,使得τ(s0)≠0,则λ0=0．再由于λ(s)=λ0为常数,故λ(s)=λ0≡0,且,即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs),根据定理1．2．2,x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a．由于λ(s)≡λ0(常数,Vs),故x\"(s)=x(s)+λ(s)V3(s)=x(s)+λ0V3(s)=x(s)+λ0a．显然,x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移λ0得到的,所以它也是平面曲线．证法2依题意有．两边关于t求导,得因为,点乘(作内积)V3(t),得到λ\"(t)=0,即λ(t)=λ0(常数)．从而由前式有再对上式求导,得因为故点乘V3(t),得如果λ0=0,则,即两曲线重合．如果λ0≠0,则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导,得两条曲线与x(t)都为平面曲线．18. 三单位向量a，b，c满足a+b+c=0，求a·b+b·c+c·a。

三单位向量a，b，c满足a+b+c=0，求a·b+b·c+c·a19. 求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11之间的夹角．求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11之间的夹角．+1=2i-j+k；=i+j+2k；=2×1+(-1)×1+1×2=3    ；    记 20. 设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P，使得PA=B.设A，B按列分块分别为    A=[α1 α2…αn]，B=[β1 β2…βn]    则PA=B可写成 [Pα1 Pα2…Pαn]=[β1 β2…βn]    即Pαj=βj (j=1，2，…，n)    (3-37)    设有一组数x1，x2，…，xr，使得        (3-38)    用矩阵P左乘上式两端，并利用(3-37)式，得        (3-39)    反过来，若有x1，x2，…，xr使(3-39)式成立，用P-1左乘(3-39)式两端，并利用P-1βj=αj，便得(3-38)式成立.故关于x1，x2，…，xr的两个齐次线性方程组(3-38)与。