数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性 新人教B版必修1.ppt

第二章——函￿￿数2.1　函　数2.1.4　函数的奇偶性[学习目标]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.1预习导学￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿挑战自我，点点落实2课堂讲义￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿重点难点，个个击破3当堂检测￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿当堂训练，体验成功[知识链接]1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标 ，纵坐标 ；关于原点对称的点的坐标，横坐标 ，纵坐标 .2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案　第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.互为相反数互为相反数相等互为相反数3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝ 的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案　图象关于原点对称.[预习导引]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝ ，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝ ，则这个函数叫做偶函数.g(x)－f(x)2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于 成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是 .(2)偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是 .偶函数原点奇函数y轴要点一　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；解　∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.解　∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解　∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.规律方法　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.跟踪演练1　(1)下列函数为奇函数的是(　　)解析　A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.C(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析　∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x) 3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.A要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_____________.解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).(－2,0)∪(2,5)规律方法　给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).跟踪演练2　设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是_________________________.解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解.{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.要点三　利用函数的奇偶性求解析式例3　已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.解　当x＜0，－x＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.规律方法　1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.跟踪演练3　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)A.f(x)＝－x(x－2)B.f(x)＝x(|x|－2)C.f(x)＝|x|(x－2)D.f(x)＝|x|(|x|－2)解析　∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2).DA.－2 B.0 C.1 D.2∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.A1.函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析　∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数.D123452.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)A.y＝x＋1 B.y＝－x3C.y＝ D.y＝x|x|解析　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.D123453.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为(　　)A.f(x)＝－x＋1 B.f(x)＝－x－1C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝x－1解析　设x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数.∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x＜0).B123454.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)A.0 B.1 C.2 D.4解析　由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.A123455.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝____.解析　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.512344课堂小结1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。