邱关源《电路》第五版第9章.docx

第9章 正弦稳态电路分析9-1阻抗和导纳一.阻抗1.定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为乙注意：此时电压相量U与电流相量I的参考方向向内部关联Z 口 一 — ^u （复数）阻抗（Q）口 I 1叫—|Z| Zv — R + jX其中|Z| — I （一阻抗Z的模，即阻抗的值PZ —v u -v.一阻抗z的阻抗角R — |Z|cosq （一阻抗Z的电阻分量阻抗三角形X — Z sin q （一阻抗Z的电抗分量电阻元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为则 Z = R = " r电感元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式 为F j" —―V c卜 ULUL = js LiL电容的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为.1_ J g s c°~~CH I '+ 匕 —C7 1 -U CZ — — J 口C①C广C2.欧姆定律的相量形式U — Zi电阻、电感、电容的串联阻抗：JX C在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗名eqZeq - f = Z rI + 3 1 + ZC 1 - Z L Z l+ Z c—R + jw L + j®C1 — R + jX^ + jXc—R + jX其中：阻抗Z的模为 | Z |= p R 2 + X 2阻抗角分别为中 —arctg — arctgz R— arctg可见，电抗X是角频率3的函数。

当电抗X〉0(3L〉1/3C)时，阻抗角气" 阻抗Z呈感性； 当电抗XV0(3LV1/3C=时，阻抗角cpz<0,阻抗Z呈容性; 当电抗X=0(3 L=1/w C)时，阻抗角PZ=0，阻抗Z呈阻性3.串联阻抗分压公式：引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得 知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为Z = &kk=1串联阻抗分压公式Uk=rUeq二.导纳1.定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二 端网络的导纳，记为Y，即寸 1 I IZvY =—= - 复导纳（S）u Z U UZvU u=|Y| Zv Y = G + jB导纳三角形其中 Y = U 一导纳Y的模(S)PY = v. - vu = *Z—导纳Y的导纳角G = Ycos中Y (s)—导纳Y的电导分量B = |Y| sin^ Y (s)—导纳Y的电纳分量可见，同一二端网络的Z与Y互为倒数特例：电阻的导纳Yr=R = G目n Zr电容的 YC = j® C = j BCm Zc Bc电容的电纳，简称容纳电感的 Y =- j -1L = jB^^Z^ Bl称为电感的电纳，简称感纳;2.欧姆定律的另一种相量形式若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为Y = 1Lyk k = 1并联导纳的分流公式：=L k yeqRLC并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳YY = Y R + Y + Y = R + j-L + j- C =R + j (- C —―乙)=G + jB = I Y I / 甲.可见，等效导纳Y的实部是等效电导G( = 1/R) = |Y|cos”；等效导纳Y的虚部是等效电纳B=|Y|sin“=Bc+BL=sC -1/s L，是角 频率3的函数。

导纳的模为：I y I =、：G 2 + B 2导纳角分别为：=arctg B = arctg ' = arctg ① C -拦 L由于电纳B是角频率3的函数，当电纳B〉0(3C〉1/3L)时，导纳角气〉o,导纳Y呈容性；当电纳BV0(3CV1/3L)时，导纳角 气Vo，导纳Y呈感性；当电纳B =0(3 C =1/3 L)时，导纳角 气=0导纳Y呈阻性注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应RRR ———i 2 nR1 + R2I = R2 IR1 R] + R2z 2——Z1 Z] + z 2» 、 - X 皿)B 皿)— R2(^) + X 2(^)三.对同一二端网络:其中：G皿) ，中^ R 2皿)+ X 2® )一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态 电路的等效阻抗Z (j3 )是外施正弦激励角频率3的函数，即Z(jG)=R(G)+jX()式中r(g) =Re[Z(j®]称为Z(jG)的电阻分量，X(g) =Im[Z(jG)]称为Z(j^)的电抗 分量式中电阻分量和电抗分量都是角频率G的函数所以，要注意到电路结构和 R、L、C的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率G不同的外施正弦激 励而言，其等效阻抗是不同的。

如下图电路的等效阻抗Z = Rj^L +(_j_L)= R * L( R 一波 L) + 上)eq R + jO L ① C R 2 +(① L)2 OCR(① L)2 . —-—-—+ j R 2 + (O L)2R 2O L 1 — R 2 + (o L)2 oC=R （O） + jX（O） 可变，找不到适于任何场合下的等效电路同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的 等效导纳Y（jo）也是外施正弦激励角频率的函数，即Y（jG）=G（G）+jB（式中G（ =Re[Y（j]称为Y（j的电导分量,B（g） =Im[Y（j]称为Y（j的电纳 分量电导分量和电纳分量也都是角频率所以要注意到电路结构和R、L、 C的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率不同的外施正弦 激励言，其等效导纳是不同的四.电路的计算 完全与电阻电路一样例：求如图所示电路等效阻抗tQ 1 ” 日 1 1 . ”7 _U _ 时(3C2 U 2 +^ U 2)+U 2 _ JOC2 + R+31 J 口1 2 2 eq 1 1、I gm U2 + J^C2 U2 + R U2 J°C1(gm 勺④ C2 +R2 29-2简单正弦稳态电路的分析、相量图例1：3)ZZ 1/6叩求：i(t), i (t), i (t)已知：u (t) = 40 J2cos3000t V , i(t) s1kQ"1⑺1/3H1.5kQ解：将电路转化为相量模型Z l = Js L = J3000 x 3 = J1kQZ = — J \ = — J2kQc 13000 x —x10-66Z = (1— 2j)项 +1.5 = 2 + " +1.5 = (2 +」1)(1+ m +1.5 = 2 + J1.5kQ = 2.5Z36.9 kQ eq (1— J2) + J1 1 — J1 2 。

I = U^Zeq40/0 = 16/- 36.9 mA1/902.5/36.9 「=——j——I = JLI = 2/90 x 16/-36.9 = 8 克/98.1 mA C (1— J2) + J1 1 — J1 <2/ — 45 I =—1 —担 I = I — I = 25.3/-55.3 mAL (1— J2) + J1 C i(t) = 16t2cos(3000t - 36.9 ) mAoi (t)= 16cos(3 + 00 98. 1 ) mAC iL(t)= 25占 2 cos(-000 5 5. 3 ) mAL20Z53.1 = 12 + j16Z U 100/53.1eq I 5/0例 2：已知：U=100V,I=5A,且 U 超前 I 53.1，求 R, XR = 12Q, X=160eqR = 100 Q3X l = 25Qr 0R - X 2 5 —=12R 2 + X 2LR 2・X = 16R2 + X2L解法2 :令U = 100/0 一纯实数，则 I = 5Z- 53.1 A = 3 - j4A„ U 10/ 0R = ==I 3，R=j25QU _ 100/0I -j4L例3：已知1广2A , 1 r f , \=1000,且U与1 c同相，求U=?jXc+LV UjXL RT卜+ + Uc解代数法：令 IR =^2/0。

a，则 U R = R,. 2/0 VU .顷=—= 一 1 L jX L 1001 c=IR+1L=很-j 盟2 = 3）2+（住）2V 100R = 100 QU R = 100旺0 V IL = -S A IC = IR /1L W2 / -5 AZ = jX + R "XL eq C R + jX ljX c + 50 + j50 =—I cdl □ L 一 — - 一 U 与Ic同相 「. Im Z = 0 即 XC + 50 = 0 则XC =—50Q• •U = jXCIc + UR =— j50X2/ — 45 +100%/2 = 50*2 — j50*2 = 100/ — 45 V... U = 100 V解相量图法:由电流三角形I = J/2 _ I2 f 公L * C RU R = U L = X L IL 日 0 0厂 2 Va = tg-1—l = 45IR由电压三角形U = URcosa = 100V在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关 系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图与反映电路中电压、电流相量关系 的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位 关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。

通常在未求出各相量的具体表达 式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和 电路的KCL、KVL方程定性地画出电路的相量图在画相星图时，可以选择电路中 某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定参考相量的初相可任 意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变 同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系所以，通常选参考相量的初相为零在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按 元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出在画并联电路的相量图时，一般取 电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相 位关系画出例4：解：1.取11为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向2.作 U ri3.作 UL14.5.6.7.8.9.作 U L2 = U R1 + U L1 + U C1作 13= 11 + 12R3L3gg10.作 UC311.作 U = U L2 + U R3 + UL3 + U C39-3 正弦稳态电路的功率J.瞬时功率如图所示的任意一端口电路。