线变换和矩阵.ppt

7.3 7.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 一、内容分布一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵----相似矩阵相似矩阵二、教学目的二、教学目的: 1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基的矩阵为Ａ的线性变换．阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基的矩阵为Ａ的线性变换． 2．由向量．由向量α关于给定基的坐标，求出关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐关于这个基的坐标．标． 3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另关于另一个基的矩阵一个基的矩阵.三、重点难点三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换坐标变换, 相似矩阵相似矩阵.盗膜狰吩税闰琴殃仇萄谩仗匆松巷筹滔标杜顷穷果熄丑褂忌存廉昆云圭悟线变换和矩阵线变换和矩阵7.3.1 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 现在设现在设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，令维向量空间，令σ是是V的一个线性变换，取定的一个线性变换，取定V的一个基的一个基 令令 ………………………………………酬旦痞肉壶者嘻摔另父霓听蝉惊鲁棚裁誉政急在凡需舅爵稚菩缴帛编搜功线变换和矩阵线变换和矩阵设设 n 阶矩阵阶矩阵A 叫做线性变换叫做线性变换σ关于基关于基 的的矩阵矩阵. 显然显然,A的第的第j 列就是列就是σ(αj)关于基关于基 的的坐标坐标.上面的表达常常写出更方便的形式上面的表达常常写出更方便的形式: (1) (1) 咯乔翅乘模仅乱方坯妥公恢八贞舟们凯箱耳踞闲砸飞钟咒甸陷谢校寇尉敏线变换和矩阵线变换和矩阵 由此可知由此可知由此可知由此可知: : 取定取定取定取定F F上上上上n n维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间V V的一个基之后，对于的一个基之后，对于的一个基之后，对于的一个基之后，对于V V的每一的每一的每一的每一个线性变换个线性变换个线性变换个线性变换σ，都有唯一确定的，都有唯一确定的n阶矩阵阶矩阵A与之对应与之对应．这样一来，从．这样一来，从L(V)到到Mn(F)必然存在着一个对应必然存在着一个对应关系关系----映射，不妨记为映射，不妨记为　　　　　　　　　　　　　　练习:教材P284---习题第1题牙杂良猫撅详靠分乳岭剐姜篇法甩庞廓惫排跑谭商宋栖舵姿尉拙办致雌谰线变换和矩阵线变换和矩阵7.3.2 7.3.2 坐标变换坐标变换设设V 是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间, 是是V 的一个基的一个基, ξ关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而σ(ξ)的坐标是的坐标是 问问: 和和 之间有什么关系呢之间有什么关系呢? 设设坯睦吞底钮湘疯控闷蟹勉涉佳援奇胀挨追攒行侵瑰咬偿呻堵姆里魂暗讫办线变换和矩阵线变换和矩阵因为因为σσ是线性变换，所以是线性变换，所以 （（2 2））将（将（1）代入（）代入（2）得）得 淳摊袭损墙术悯痈硫拈亲珠犬汁茸仲粕扔进合唇未切酒予镶枚赣晋跑吩耿线变换和矩阵线变换和矩阵最后，等式表明，最后，等式表明， 的坐标所组成的坐标所组成的列是的列是 综合上面所述综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：我们得到坐标变换公式：定理定理7.3.17.3.1 令令V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间，σ是是V的一个线性变换，而的一个线性变换，而σ关于关于V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 溅渐涣韵洽驶谚帆险桂瞎蠢抚放寇甲叉矣方丛壹乘区套稳眼计辅政训堆贷线变换和矩阵线变换和矩阵如果如果V中向量中向量ξ关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，，而而σ(ξ)的坐标是的坐标是 ，， 那么那么台俯愚瘴骡淄哆位沮牲厢哼年缺卖坷番托疼双寐汾冷怨拐以迎罚性片茶罢线变换和矩阵线变换和矩阵例１例１还净壶钡胳场域扩庞赠拨为典哄莱目丫妒春痉涕狐果庐荔兄锰悍没对私孝线变换和矩阵线变换和矩阵昏吨帖坠愤够想野韩皆窥涯缠疹错魄锥送萧辽右款裹菱俐蛔指衫造拈鞍睹线变换和矩阵线变换和矩阵例２例２在空间在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量单位向量 作为作为 的基的基.令令σ是将是将 的每一向的每一向量旋转角量旋转角θ的一个旋转的一个旋转. σ是是 的一个线性变换的一个线性变换.我们有我们有 所以所以σ关于基关于基 的矩阵是的矩阵是设设 ，它关于基，它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 歼激愿棋找萌倪红依睁别隶珍睡仓蹭节兼矿浸赚嚷设漠婚轰勋盘富吵魄嗣线变换和矩阵线变换和矩阵例例例例3 3 3 3 令Ｖ是数域Ｆ上一个令Ｖ是数域Ｆ上一个令Ｖ是数域Ｆ上一个令Ｖ是数域Ｆ上一个n n n n维向量空间，　　　　　　维向量空间，　　　　　　维向量空间，　　　　　　维向量空间，　　　　　　是Ｖ的一个位似，那么　关于Ｖ任意基的矩阵是是Ｖ的一个位似，那么　关于Ｖ任意基的矩阵是是Ｖ的一个位似，那么　关于Ｖ任意基的矩阵是是Ｖ的一个位似，那么　关于Ｖ任意基的矩阵是特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．　　　　搭颊磁九术蜀啤旦酶阔琵龄嚷掐苦冷荆唐属牵甚鸳情霄嗜婚庭循控甄涯剥线变换和矩阵线变换和矩阵7.3.3 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 引理引理7.3.2 设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间， 是是V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V 中任意中任意n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性变换的一个线性变换σ，使得，使得:证证 设设 是是V中任意向量中任意向量.我们如下地定义我们如下地定义V到自身的一个映到自身的一个映射射σ：：麻臭疽俐佐怎龚勘冈一剂拥筹努席磷粮芋僳翔竟条奋弓喻注牌箔域醒缀革线变换和矩阵线变换和矩阵我们证明，我们证明，σ是是V的一个线性变换。

设的一个线性变换设那么那么 于是于是 设设 那么那么 昧曼芬淖潍驭三彼绕柜度饱歌组泻惟濒礼陡章廊喝摸啮崖再甭帅记仙裴蜗线变换和矩阵线变换和矩阵这就证明了这就证明了σ是是V的一个线性变换线性变换的一个线性变换线性变换σ显然显然满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：如果如果τ是是V的一个线性变换，且的一个线性变换，且 那么对于任意那么对于任意从而从而 ■筋板潜宦卖伶囤拼骇痔景扁缚盆眯绣疏尺祖竭舱弹赠遭阎吠碳当暇鸥裳寅线变换和矩阵线变换和矩阵定理定理7.3.37.3.3 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间， 是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换σσ，令，令σσ关于基关于基 的矩阵的矩阵A A与与它对应，这样就得到它对应，这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L L（（V V）到）到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一的一个双射，并且如果个双射，并且如果 , ,而而 ，， 则则 (3) (3) (4) (4) 证证 设线性变换设线性变换σ关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A。

那么那么 是是 的一个映射的一个映射充城捧竿途侩濒瞎榴增嚼奥弱余龚闭吮渤椅耳俱推粤掉藕嘘躯社啼宪坝罐线变换和矩阵线变换和矩阵是是F上任意一个上任意一个n阶矩阵令阶矩阵令 由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 反过来，设反过来，设显然显然σ关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是A. 这就证这就证明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的双射的双射. 伙瘩胸岿他袍琴禄巍迭汗咒趴卯艘疹茅揣够铲芋耻愧丢貉摇扛浚幽夹垂拱线变换和矩阵线变换和矩阵设设 我们有我们有 由于由于σ是线性变换是线性变换, 所以所以 因此因此 所以所以στ关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是AB7）式成立，至于（）式成立，至于（6）式成立，是显然的式成立，是显然的□板敌媚蓖沾衬犊加赌也竖炼霜否子眼慎肉愚若闷膊丁艺抽藉喀魔祸心繁媚线变换和矩阵线变换和矩阵推论推论7.3.47.3.4 设数域设数域F上上n 维向量空间维向量空间V 的一个线性变的一个线性变换换σ关于关于V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A，那么，那么σ可逆可逆必要且只要必要且只要A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的矩阵就是关于这个基的矩阵就是 . 证证 设设σ可逆。

令可逆令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B由（由（7），）， 然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以刻透腾恃锡谈痈册管铣躬棺涝奎逊思葬锈嘿姨搭制竟筏熏翟兰岛拱询羔搜线变换和矩阵线变换和矩阵注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以σ有逆，而有逆，而 □ 反过来，设反过来，设 而而A可逆由定理可逆由定理7.3.3，有，有 于是于是 我们需要对上面的定理我们需要对上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深刻意义的深刻意义加以说明加以说明: 1. 取定取定n 维向量空间维向量空间V的一个基之后的一个基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作为向量空间作为向量空间)磺匠撩赁暇城叼府韭典串于乓陋豌菏堤代札峭宋惟告蹬浙像弃喇逆树永鸳线变换和矩阵线变换和矩阵研究一个抽象的线性变换研究一个抽象的线性变换σ, 就可以转化为研究一个就可以转化为研究一个具体的矩阵具体的矩阵. 也就是说也就是说, 线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以后以后,可以通过矩阵来研究线性变换可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变也可以通过线性变换来研究矩阵换来研究矩阵. 2. 我们知道我们知道, 数域数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间V 同构同构于于 , V上的线性变换上的线性变换 转化为转化为 上一个具体的变换上一个具体的变换: 也就是说也就是说, 线性变换都具有上述形式线性变换都具有上述形式. 草哼秃鼓无避眷快卡顶涨映阐帘洁锹柒敝梦蔬缕出蚤香金彭夫递围乳薛豹线变换和矩阵线变换和矩阵 引言：　　一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同.　　为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。

鸣醚兼临逝密裁叼戚晋枯志纷哀震饭喻禽还洒邹绰拼并陋冻饱蕊直戒吐薯线变换和矩阵线变换和矩阵引例引例引例引例：设 ，且 关于基{ ， }的矩阵为 求　关于基 　的矩阵．分析分析分析分析: : : :本题不能直接用定义做,因 的对应关系不清楚,由定义是求B使 B，又由题知 ，而 与 间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下 范彤衔凭比肘炮锡宁瑞省革兼诗蒸奋奔读脉果篷钝橱悸懒告晚挡磅靴兴凯线变换和矩阵线变换和矩阵解：解：解：解：设 B，因 ，所以 其中其中 . .于是于是 所以所以玫届羹的类唯庙添渗儡寝尖勤巾炙挣称羌坝矾级畅泵悔突挟聂纂攒冠士砾线变换和矩阵线变换和矩阵设线性变换设线性变换σ关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 A , σ关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 B , 由基由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵T, 于于是有是有:定理定理7.3.5 7.3.4 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵 — ———相似矩阵相似矩阵 婉皑溉歇凸铰贫实笺翅呻坎犁磕甲命携奖镜烤娩抗戚会帧畸哄见庙送鄙习线变换和矩阵线变换和矩阵(1(1) )(2(2) )(3(3) )由由由由(3)(3)得得得得比较两端比较两端比较两端比较两端, ,得得得得证明证明证明证明: :温徘游要艰各楷设裸澜灰台涯嗽坯互斩么打舷冻上排泼拂拙蔽痈伤菩暇破线变换和矩阵线变换和矩阵定义：定义：设设 A，，B 是数域是数域 F 上两个上两个 n 阶矩阵阶矩阵. 如果存如果存在在F上一个上一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B与与A相似，记作：相似，记作： . n阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：1. 自反性：每一个自反性：每一个n阶矩阵阶矩阵A都与它自己相似，都与它自己相似，因为因为2. 对称性：如果对称性：如果 ，那么，那么 ；；因为由因为由策侧晤荐廖埔键夯峰盐佃枫婆星殷讶君迅酞昭跑库慧诫峡谦刚纸昧茨蚌痹线变换和矩阵线变换和矩阵3. 3. 传递性：如果传递性：如果且且那么那么事实上，由事实上，由 得得因此因此: 线性变换在不同基下的矩阵是相似的线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反过来，一对相似矩阵可以是同一个线反过来，一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵.(证明略证明略----教材教材P283~P284)石独耽屁侠中课励玻仍讳鸽庇蚊子蜜秋杯慢赎托襟人政粘件幌葫置假勾扯线变换和矩阵线变换和矩阵容易证明容易证明NOTE: 这两个式子的作用在于方便运算．这两个式子的作用在于方便运算．例例4 设设A、、B都是都是n阶矩阵，且阶矩阵，且A可逆可逆.证明证明: AB~BA.估史燎馁无柬奄纹辆素怂拥谍街巢定茫胯害浴奄蜘睦狡妒认坞陵潦程躇抛线变换和矩阵线变换和矩阵 问问题题：：Th7.3.5说明， 关于V的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。

这自然会提出问题： 满足什么条件下，可以并且如何选取V的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方T，对给定的方阵A，使得 为对角形茂庄扇授增旦佣扑欣节扎彼痉妻冀甜确澳狼烷号连疥酒垣怂助靡涤衅瑶假线变换和矩阵线变换和矩阵。