2025-2026学年河南省新未来高二上学期10月中质量检测数学试卷（含答案）.docx

2025-2026学年河南省新未来高二上学期10月中质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线x+ 3y+3=0的倾斜角为(    )A. -30° B. 120° C. 150° D. 60°2.已知空间向量a，b，c是一组单位正交向量，m=-a+3b-2c，n=a-b+xc，若m⋅n=-2，则x=(    )A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.在空间直角坐标系O-xyz中，点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点为M1，点M2是点M1在坐标平面Oxy内的射影，则点M2的坐标为(    )A. (0,3,1) B. (2,3,0) C. (-2,3,0) D. (2,-3,0)4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BD+BA1+BC1=(    )A. 2BD1 B. 2D1B C. 2DB1 D. 2D1B15.已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，若直线y-1=k(x-1)与线段AB相交，则k的取值范围是(    )A. -∞,-34∪[4,+∞) B. (-∞,-4]∪34,+∞C. -34,4 D. -4,346.已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(-1,4)，P为动点，且△PAB的面积总为10，则动点P的轨迹方程为(    )A. 4x+3y-12=0B. 4x+3y+12=0C. 4x+3y-12=0或4x+3y+28=0D. 4x+3y+12=0或4x+3y-28=07.下列命题中正确的是(    )A. 若a=(3,2,1)，b=(0,1,1)，则a在b上的投影向量为0,34,34B. 若直线l的方向向量为e=(1,-1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,-1)，则l⊥αC. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°D. 若a=(1,1,1)，b=(1,1,0)，c=(1,0,1)，则a，b，c共面8.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,0)，95,0，点C的坐标为(m,2m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(    )A. 2 105 B. 4 105 C. 2 D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知直线l1：x-2y-2=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的有(    )A. 存在实数k，使得l2的倾斜角为90° B. 存在实数k，使得l1与l2没有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不重合 D. 存在实数k，使得l1与l2垂直10.以下能够判定空间中四点A，B，C，D共面的条件是(    )A. AB=AC+3AD B. OA=12OB+14OC+14ODC. CD⋅AB=0 D. AB=2CD11.如图，已知直棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正确的是(    )A. MD1⊥ACB. 当λ=μ=13时，三棱锥M-BCD的外接球的表面积为2449πC. 记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则AM+d的最小值为 3+ 72D. 当λ=μ=12时，直线DM与直线CA1垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.直线l经过点(1,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为          ．13.在空间直角坐标系中，点M(0,1,1)，点N(-1,0,1)，点P(1,1,4)，则点P到直线MN的距离是          ．14.三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A'，B'，C'，且PA=xPA'，PB=yPB'，PC=zPC'，且x>0，y>0，z>0，则1x+1y+1z的最小值为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知三角形三顶点A(3,1)，B(1,-1)，C-12,1，求：(1)直线AB关于x轴对称的直线的一般式方程；(2)AB边上的高所在直线的一般式方程．16.(本小题15分)如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1．(1)证明：BD1⊥AC；(2)证明：BD1⊥平面ACB1；(3)点D1到平面ACB1的距离为d1，点B到平面ACB1的距离为d2，求d1d2．17.(本小题15分)已知直线l经过点P(2,3)．(1)若原点O(0,0)到直线l的距离为2，求直线l的方程；(2)若直线l被两条相交直线2x-y-2=0和x+y-3=0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程；(3)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|OA|+|OB|的最小值，并求此时的直线l的方程，其中O(0,0)．18.(本小题17分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1=2，AB=AC=4，D为BC的中点，AC⊥C1D．(1)证明：AC⊥AB；(2)若直线AC1与平面BCC1B1所成的角的正弦值为 63，求AA1的长；(3)在(2)的条件下，若AA1的长小于A1B1的长，求直线A1C与直线BC1所成角的余弦值．19.(本小题17分)如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且DE//SA，若SA=AB=2DE=2，M，N分别是SB，BC的中点，点Q是线段DC上的一个动点．(1)证明：CE//平面SAB；(2)求直线SE与平面ACM所成角的正弦值；(3)求二面角M-NQ-A平面角的余弦值的最大值．参考答案1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.AD 10.ABD 11.ABC 12.y=3x或x-y+2=0 13. 382 14.32 15.解：(1)∵A(3,1)，B(1,-1)，∴点A，B关于x轴对称的点分别为A'(3,-1)，B'(1,1)，则kA'B'=1-(-1)1-3=-1，所以y=-(x-1)+1，整理得x+y-2=0，所以直线AB关于x轴对称的直线的一般式方程为x+y-2=0;(2)∵直线AB的斜率为kAB=1-(-1)3-1=1，∴AB边上的高所在直线的斜率为-1，∴AB边上的高所在直线的方程为y-1=-1(x+12)，即2x+2y-1=0． 16.证明：分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，BD1=(-1,-1,1)，AC=(-1,1,0)，AB1=(0,1,1)，(1)因为BD1⋅AC=-1×(-1) +(-1)×1+1×0=1-1+0=0，所以BD1⊥AC，所以BD1⊥AC;(2)因为BD1⋅AB1=-1×0+(-1)×1+1×1=0-1+1=0，所以BD1⊥AB1，所以BD1⊥AB1，由(1)可知，BD1⊥AC，又AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面ACB1，所以BD1⊥平面ACB1;(3)由(2)可知，平面ACB1的法向量n=BD1=(-1,-1,1)，AD1=(-1,0,1)，所以d1=|AD1⋅n||n|=2 3=2 33，又AB=(0,1,0)，所以d2=|AB⋅n||n|=1 3= 33，所以d1d2=2． 17.解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，满足题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0，因为原点到直线l的距离为2，则有|3-2k| k2+1=2，解得k=512，则直线l的方程为：5x-12y+26=0，综上，直线l的方程为x=2或5x-12y+26=0，(2)设直线l与直线2x-y-2=0和x+y-3=0分别相交于M，N两点，设M(x0,2x0-2)，因为点P(2,3)为线段MN的中点，则N(4-x0,8-2x0)，因为点N(4-x0,8-2x0)在直线x+y-3=0上，则4-x0+8-2x0-3=0，解得x0=3，则M(3,4)，所以直线l的方程为：y-34-3=x-23-2，即x-y+1=0;(3)由题意可知直线l的斜率k存在，且k<0，设直线l的方程为y-3=k(x-2)，则A(2-3k,0)，B(0,3-2k)，|OA|+|OB|=2-3k+3-2k=5+(-3k)+(-2k)≥5+2 (-3k)(-2k)=5+2 6，当且仅当-3k=-2k(k< 0)，即k=- 62时取等号，则此时直线l的方程为： 6x+2y-6-2 6=0． 18.解：(1)在三棱台ABC-A1B1C1中，∵A1B1=2，AB=AC=4，∴A1C1=2，BC=2B1C1，BC/​/B1C1．∵D为BC的中点，∴B1C1=BD，B1C1//BD，∴四边形BDC1B1为平行四边形，故B1B//C1D.∵AC⊥C1D，∴AC⊥B1B.∵AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，∴AA1⊥AC．∵AA1，BB1⊂平面ABB1A1，AA1，BB1为相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AB;(2)以A为原点，以AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设AA1=a，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，B1(2,0,a)，C1(0,2,a)，∴BC=(-4,4,0)，BB1=(-2,0,a)，AC1=(0,2,a)，设m=(x1,y1,z1)是平面BCC1B1的法向量，则BC⋅m=0BB1⋅m=0，即-4x1+4y1=0-2x1+az1=0，取m=(2,2,4a);∵直线AC1与平面BCC1B1所成的角的正弦值为 63，∴|cos|=|m⋅AC1||m|⋅|AC1|=8 4+a2⋅ 8+16a2= 63，解得a=2或 2，所以AA1的长为2或 2．(3)因为A1(0,0,a)，所以A1C=(0,4,-a)，BC1=(-4,2,a)，cos=8-a2 16+a2⋅ 20+a2，由(2)，得a=2或 2，又AA1的长小于A1B1的长，所以a= 2，所以8-a2 16+a2⋅ 20+a2=63 2× 22= 1111，所以直线A1C与直线BC1所成角的余弦值为 1111． 19.解：因为SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，所以AB，AD，SA两两垂直，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为SA=AB=2DE=2，DE//SA，所以DE⊥平面ABCD，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，S(0,0,2)，M(1,0,1)，N(2,1,0)，设Q(t,2,0)(0≤t≤2)．(1)CE=(-2,0,1)，因为AD⊥平面SAB，所以平面SAB的一个法向量为n=(0,2,0)，因为CE⋅n=-2×0+0×2+1×0=0，且CE⊄平面SAB，所以CE/​/平面SAB;(2)SE=(0,2,-1)，AC=(2,2,0)，AM=(1,0,1)，设平面ACM的法向量m=(x,y,z)，。