高中数学 多元函数微分学1-1.ppt

第一章 多元函数微分学,§1.1 多元函数,一、 邻域,,,,若点P0不包含在该邻域内，则称该邻域为点P0的,空心邻域，记为U .,如图所示1.1(a)是包含点P0的邻域,1.1(b)是不包含点P0的空心邻域U .,,,,二、内点、外点、边界点、聚点,例如:,1.内点,中每个点都是D*的内点,,,,,,,,,,例,(0,0)既是边界点也是聚点．,例如:,(0,0) 是聚点但不属于集合．,例如:,边界上的点都是聚点也都属于集合．,,,,三、区域,2.区域,,,,开区域连同其边界称为闭区域.,例如,为闭区域.,,,,对于一个区域D, 如果 M>0, 使得D内任何点到原,点的距离都小于M, 则称这个区域为有界区域,,否则称为无界区域.,3.有界区域,有界区域,无界区域,,,,4. 在n维空间Rn中的推广,设两点为,(1) 两点间的距离,(2) 邻域的概念,邻域：,类似地,可以定义n维空间Rn中的内点、边界点、,区域、聚点等概念．,,,,四、多元函数的概念,定义1.设D为R2的非空子集(平面点集),R为实数集,,若f 为D到R的一个映射,即对于D中的每一点(x,y),通过,f,在R中存在惟一的实数z与之对应,则称f 为定义在D上,的二元函数, 记为,,,,类似地可定义三元及三元以上函数．,n元函数简记为,,,,二元函数,在几何上表示一张曲面.,,,,例1 求 的定义域．,解,所求定义域为,,,,五、等值线,z=f(x,y)的图象在R3为一曲面，若在定义域D f 上满足,f (x,y)=C（常数）的点集：,是xoy平面上的曲线，则将此曲线称为二元函数,z=f(x,y)的等值线. 当C取一系列值C1 , C2 , … ,Cn时，,得等值线L1, L2 ,…,Ln称为等值线族.,,,,L1, L2, L3, L4,为等值线,,,,六、多元函数的极限,记为,,,,极限概念的推广：,,,,例2 设,,,,例3 设函数,,,,例4 证明 不存在．,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在．,,,,,,,,,,七、多元函数的连续性,如果,,,,,,,,例7 讨论函数,在(0,0)的连续性．,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在．,故函数在(0,0)处不连续．,,,,如果函数f (x,y)在开区域（或闭区域）D内每,一点连续，则称函数f (x,y)在D内连续. 或称f (x,y),是D内的连续函数.,注：二元函数的间断点可以是孤立的点，也可,以形成一条或几条曲线.,,,,●,多元函数的连续性及运算法则与一元函数有,类似的结果.,●,多元初等函数：由常数及基本初等函数经过,有限次的四则运算与复合且用一个式子表示,的函数.,,,,●,一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的.,(定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域),●,初等函数在其定义区域上求极限，其极限值,就等于函数值.,,,,,,,有界闭区域上多元连续函数的性质,有界闭区域D上的多元连续函数，在D上,1 最大值和最小值定理,至少取得它的最大值和最小值各一次．,2 有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上,取得两个不同的函数值,,,,,,,。