安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期期中联考数学试题 含解析.docx

数学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法法则计算即可．【详解】由已知，，故选：B.2. 已知，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式得出等价条件，再应用充分必要条件定义判断.【详解】等价于或，则可以推出，不能推出，则是的充分不必要条件；故选：A.3. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】首先求出的通项公式，列出的前几项，即可得到为周期为的周期数列【详解】设等比数列的公比为，因为，即，所以，则，所以，，，，，，，，，所以为周期为的周期数列，所以.故选：A.4. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集概念求解即可.【详解】因为，所以，即.故选：C.5. 已知，使为真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由求解即可.【详解】由题意可得：解得：，故选：B.6. 已知函数，则的图象（ ）A. 关于对称 B. 关于对称C. 关于对称 D. 关于对称【答案】D【解析】【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确.【详解】由，得，解得，所以的定义域为，故A，C不正确；又，所以为奇函数，图像关于原点对称，则的图象关于对称，故B不正确，D正确故选：D.7. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 的图象关于对称D. 的图象关于对称【答案】D【解析】【分析】计算即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D.【详解】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误；又，故的图象不关于对称，故C错误；因为，故的图象关于对称，故D正确；故选：D.8. 已知且，则的最小值为（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 7【答案】B【解析】【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知的部分图象如图，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】结合图象求出函数解析式，依次判断选项即可【详解】由题可得，其中，设其周期为，结合题中的图可知，，则，故A正确；所以，把点的坐标代入，得，则，所以，则所以，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：AD10. 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有最小值 D. 有最大值【答案】BC【解析】【分析】根据题意，求得，得到，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为，因为函数在上有最小值，可得，又由函数，当时，可得，在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值，综上可得，函数在上单调递增，有最小值，无最大值.故选：BC.11. 已知数列前项和为，且，若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由，根据等比数列有关概念计算可判断A；由，根据等比数列有关概念计算可判断B；由与的关系可得，计算可判断CD.【详解】对于A，由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故A正确；对于B，由题意可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故B正确；对于C，由得，即时，，又，所以，所以的奇数项均为0，偶数项均为1.故，故C错误；对于D，因为即，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______.【答案】【解析】【分析】由向量的夹角公式即可求解.【详解】由已知得，又，所以，所以向量夹角为.故答案为：13. 已知，则__________.【答案】【解析】【分析】求出,两边平方即可求解.【详解】由已知，所以，即.故答案为：14. 已知曲线且.当实数变化时，函数的图象公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______.【答案】 ①. 3 ②. 【解析】【分析】原题等价于与的图象公共点最多有几个，根据的情况，分和以及三种情况分类讨论，即可求解.【详解】原题等价于与的图象公共点最多有几个，且此时的取值范围问题.（1）当时，与有2个公共点；（2）当时，令，①当时，和在上单调递增， 在上单调递增，且，所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，②当时解方程，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，因此的最大值为，又时，，时，，则与在上最多有2个公共点，此时需满足，即的范围是，所以当范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；（3）当时，③当时，在单调递减，且，所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，④当时，，令，解方程，由②知，与在上最多有2个公共点，此时需满足，解得，所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；综上所述，与最多3个公共点，.故答案为：；.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求取得最大值时自变量的集合，并求出最大值.【答案】（1） （2），.【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期；（2）在（1）的基础上，利用正弦函数的图象与性质，求出及此时自变量的集合.【小问1详解】∴所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由（1）知函数取得最大值时，，解得故取得最大值时自变量的集合为此时，.16. 已知函数，且的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为.①求切线的方程；②求的面积.【答案】（1） （2）①；②【解析】【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得即得；（2）①先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；②求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解.【小问1详解】由已知得，即，所以.故.小问2详解】①当时，.不妨设切点.所以.故切线的方程为.因为过原点，故，解得.所以切线的方程为.又为偶函数，其图象关于轴对称，故切线的方程为.所以切线的方程为.②由①可知，，由对称性可知，为等腰三角形，其面积为17. 已知数列的首项.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，求满足的的最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）11【解析】【分析】（1）根据已知递推关系计算，根据等差数列的定义，即可得证；（2）由（1）求得，继而得到，通过裂项相消求，进而得不等式，求解即得.【小问1详解】由得，又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列.【小问2详解】由（1）知：，所以所以由已知得，即.因为，当时，显然，不满足条件；当时，记，显然在时单调递增，且，所以.故的最小值为11.18. 如图，四边形的对角线相交于点. （1）求证：；（2）已知.①求四边形的面积；②若与面积相等，求证：.【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可【小问1详解】由余弦定理得在中，①在中，②在中，③在中，④由③+④-①-②得：.故【小问2详解】①由（1）得，又可求得.又四边形的面积为.②由若与面积相等，因为为公共底边，故两个三角形上的高相等，即，所以.设.在中得：，即在中得：.两式相加得：，两式相减得：，所以，故.故，所以.又，所以，由勾股定理得：.19. 已知函数，当时取得最值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个极值点，①求实数的取值范围；②证明：.（参考数据：）【答案】（1） （2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）由求解即可（2）由题可得，由有三个极值点，可得方程需有两个不等于1正根，①令，结合导数研究的单调性以及最值，即可得到实数的取值范围；②由①可得，且，从而将问题转化为证明，令，结合导数研究的单调性和最值即可证明.【小问1详解】函数的定义域为，求导得,因为时取得最值，所以，即：，解得：；经检验，符合题意.【小问2详解】函数有三个极值点，由（1）知，因此：，，令，得或（即），因为有三个极值点，所以方程需有两个不等于1的正根；①求实数的取值范围，令，当时，单调递减；当时，单调递增，因此，在处取得极小值，要使有两个不等于1的正根，需，故实数取值范围为，②证明，由的根可知：，且是方程的两个根，即，注意到，所以等价于，，令，由知在上单调递增，所以，所以。