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第七章力法 超静定结构 具有多余约束的结构 几何特征 具有多余约束的几何不变体系 静力特征 反力和内力不能仅由平衡条件全部解出 外部一次超静定结构 内部一次超静定结构 一 超静定结构的静力特征和几何特征 7 1超静定结构概述 思考 多余约束是多余的吗 从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论 超静定结构的优点为 1 内力分布均匀2 抵抗破坏的能力强 7 1超静定结构概述 二 超静定结构的类型 超静定梁 超静定刚架 超静定拱 两铰拱 无铰拱 7 1超静定结构概述 超静定桁架 超静定组合结构 7 1超静定结构概述 MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures 遵循同时考虑 变形 本构 平衡 分析超静定问题的思想 可有不同的出发点 以力作为基本未知量 在自动满足平衡条件的基础上进行分析 这时主要应解决变形协调问题 这种分析方法称为力法 forcemethod 三 超静定结构求解方法概述 1 力法 以多余约束力作为基本未知量 基本未知量 当它确定后 其它力学量即可完全确定 关键量 7 1超静定结构概述 以位移作为基本未知量 在自动满足变形协调条件的基础上来分析 当然这时主要需解决平衡问题 这种分析方法称为位移法 displacementmethod 如果一个问题中既有力的未知量 也有位移的未知量 力的部分考虑位移协调 位移的部分考虑力的平衡 这样一种分析方案称为混合法 mixturemethod 2 位移法 以结点位移作为基本未知量 3 混合法 以结点位移和多余约束力作为基本未知量 7 1超静定结构概述 4 力矩分配法 近似计算方法 位移法的变体 便于手算 不用解方程 5 结构矩阵分析法 有限元法 以上各种方法共同的基本思想 4 消除差别后 改造后的问题的解即为原问题的解 3 找出改造后的问题与原问题的差别 2 将其化成会求解的问题 1 找出未知问题不能求解的原因 适用于电算 7 1超静定结构概述 超静定次数 多余约束 联系 或基本未知力的个数 一 概念 二 确定方法 1 由计算自由度确定 2 去约束法 将多余约束去掉 使原结构转化为静定结构 7 2超静定次数的确定 解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次数 应注意以下几点 1 去掉一根链杆 等于拆掉一个约束 两铰拱 一次超静定结构 一次超静定桁架 曲梁 静定结构 静定桁架 7 2超静定次数的确定 去掉几个约束后成为静定结构 则为几次超静定 去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束 7 2超静定次数的确定 2 去掉一个铰支座或一个单铰 等于拆掉两个约束 3 去掉一个固定支座或切断一个梁式杆 等于拆掉三个约束 切断一个梁式杆 等于拆掉三个约束 7 2超静定次数的确定 4 在梁式杆上加上一个单铰 等于拆掉一个约束 三次超静定刚架 静定三铰刚架 静定悬臂刚架 5 去掉一个连接n个杆件的铰结点 等于拆掉2 n 1 个约束 6 去掉一个连接n个杆件的刚结点 等于拆掉3 n 1 个约束 7 2超静定次数的确定 五次超静定刚架 注意 同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式 但解除约束的个数是相同的 解除约束后的体系必须是几何不变的 7 只能拆掉原结构的多于约束 不能拆掉必要约束 8 只能在原结构中减少约束 不能增加新的约束 7 2超静定次数的确定 以五个支座链杆为多余约束 静定悬臂刚架 其它形式的静定刚架 静定三铰刚架 静定简支刚架 7 2超静定次数的确定 3 框格法 一个封闭无铰框格 个封闭无铰框格 7 2超静定次数的确定 若有铰 单铰数 则 注意 多少个封闭无铰框格 7 2超静定次数的确定 三 计算示例 拆除多余联系变成的静定结构形式 7 2超静定次数的确定 7 2超静定次数的确定 1 力法基本思路 原 一次超静定 结构 1 去掉多余约束代之以多余未知力 将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构 基本体系 基本体系 去掉余约束代之以多余未知力 得到基本体系 7 3力法的基本概念 2 沿多余未知力方向建立位移协调方程 解方程就可以求出多余未知力X1 原结构的B是刚性支座 该点的竖向位移是零 即原结构在的X1位移为 位移协调条件 基本结构在原有荷载q和多余力X1共同作用下 在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等 在变形条件成立条件下 基本体系的内力和位移与原结构等价 7 3力法的基本概念 超静定结构计算 静定结构计算 基本结构 悬臂梁 对静定结构进行内力 位移计算 已经很掌握 7 3力法的基本概念 在荷载作用下B点产生向下的位移为 1P 未知力的作用将使B点产生的向上的位移为 1X 要使体系的受力情况与原结构一样 则必须B的位移也与原结构一样 要求 位移协调条件 1 1X 1P 0 a 1P 基本结构由荷载引起的竖向位移 1X 基本结构由知力引起的竖向位移 7 3力法的基本概念 由叠加原理 1X 11X1 11X1 1P 0 b 力法典型方程 位移系数 自乘 7 3力法的基本概念 将 11 1P入力法典型方程 解得 3 将求出的多余未知力作用于基本结构 用叠加法即可求出超静定结构的内力 7 3力法的基本概念 2 几个概念 力法的基本未知数 超静定结构多余约束的未知约束力 即超静定次数 力法的基本结构 把原超静定结构的多余约束去掉 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构 力法的基本体系 在基本结构上加上外荷载及多余约束力 就得到了基本体系 力法的基本方程 根据原结构已知变形条件建立的力法方程 对于线性变形体系 应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式 称为力法的基本方程 7 3力法的基本概念 选取基本体系的原则 基本体系必须是几何不变的 通常取静定的基本体系 在特殊情况下也可以取超静定的基本体系 思考 力法的基本体系是否唯一 答 不唯一 解除不同的多余约束可得不同的基本体系 7 3力法的基本概念 力法基本思路小结 根据结构组成分析 正确判断多余约束个数 超静定次数 解除多余约束 转化为静定的基本结构 多余约束代以多余未知力 基本未知力 分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移 建立位移协调条件 力法典型方程 从典型方程解得基本未知力 由叠加原理获得结构内力 超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决 7 3力法的基本概念 将未知问题转化为已知问题 通过消除已知问题和原问题的差别 使未知问题得以解决 这是科学研究的基本方法之一 7 3力法的基本概念 超静定刚架如图所示 荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M 一 多次超静定的计算 原结构 基本结构 基本体系 1 力法基本未知量X1与X2 7 4力法的典型方程 2 位移协调条件 基本结构在原有荷载M和赘余力X1 X2共同作用下 在去掉赘余联系处的位移应与原结构相应的位移相等 a 7 4力法的典型方程 b 将 代入 b 式 得两次超静定的力法基本方程 c 7 4力法的典型方程 3 计算系数与自由项 作出基本结构分别在单位力与荷载单独作用下的弯矩图 7 4力法的典型方程 7 4力法的典型方程 4 求出基本未知力 将计算出来的系数与自由项代入典型方程 得 解方程得 求得的X1 X2为正 表明与原假定的方向一致 7 4力法的典型方程 先作弯矩图 把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧 再作剪力图 最后作轴力图 由刚结点C的平衡可知M图正确 5 作内力图 7 4力法的典型方程 杆AC 杆CB 作剪力图的原则是 截取每一杆为隔离体 由平衡条件便可求出剪力 7 4力法的典型方程 取刚结点C为隔离体 由投影平衡条件解得 作最后轴力图的原则是考虑结点平衡 由杆端的剪力便可求出轴力 7 4力法的典型方程 二 力法典型方程 n次超静定定结构 力法典型方程为 7 1a 柔度系数 ij 表示当单位未知力Xj 1作用下 引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移 思考 柔度系数由什么的特点 答 7 4力法的典型方程 自由项 iP 荷载作用下引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移 通常先用叠加原理计算弯矩 由力法典型方程解出n个基本未知数X1 X2 Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了 由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图 7 4力法的典型方程 1 力法的典型方程是体系的变形协调方程 2 主系数恒大于零 副系数满足位移互等定理 3 柔度系数是体系常数 4 荷载作用时 内力分布与刚度大小无关 与各杆刚度比值有关 荷载不变 调整各杆刚度比可使内力重分布 小结 7 4力法的典型方程 7 5力法的计算步骤和示例 例 用力法计算图示刚架 并作M图 解 确定力法基本未知量和基本体系 基本体系 力法方程 d11x1 d12x2 D1P 0d21x1 d22x2 D2P 0 作M1 M2 MP图 7 5力法的计算步骤和示例 基本体系 MP 7 5力法的计算步骤和示例 计算系数 自由项d11 5l 12EId22 3l 4EId12 d21 0D1P FPl2 32EID2P 0 说明 力法计算刚架时 力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响 dii l Mi2 EI dsdij l MiMj EI dsDiP l MiMP EI ds 代入力法方程 求多余力x1 x2 5l 12EI x1 FPl2 32EI 0 x1 3FPl 40 3l 4EI x2 0 x2 0 叠加作M图MAC x1M1 x2M2 MP 3FPl 40 2 3FPl 80 右侧受拉 力法的解题步骤 1 确定结构的超静定次数 选取适当的约束作为多余约束并加以解除 并代之以多余约束的约束反力 即基本未知数 即得基本体系 2 列力法方程式 3 计算系数与自由项 分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图 等直杆用图乘法计算 曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算 4 将计算出来的系数与自由项代入典型方程 解此方程 求出基本未知力 5 在基本体系上计算各杆端内力 并据此作出基本体系的内力图 也就是原结构的内力图 6 校核 7 5力法的计算步骤和示例 例7 1用力法求解图示刚架内力 并作弯矩图和剪力图 解 1 确定超静定次数 选择基本体系 原结构 基本体系 2 列出力法典型方程 a 7 5力法的计算步骤和示例 3 计算系数及自由项 作 图 由图乘得 7 5力法的计算步骤和示例 4 解方程求未知力 将与代入式 a 消去公因子 得 解此方程得 5 求作弯矩图 左侧受拉 右侧受拉 7 5力法的计算步骤和示例 由 得支座B的竖向反力为7 5kN 6 作剪力图 利用BE杆力偶系平衡条件得 同理 7 5力法的计算步骤和示例 支座A的竖向反力为22 5kN 杆DC的D端剪力应等于 7 作轴力图 根据最后剪力图可作出最后轴力图 7 5力法的计算步骤和示例 例7 2用力法计算图示刚架 作弯矩图 解 1 确定超静定次数并选定基本结构 原结构 基本体系 7 5力法的计算步骤和示例 作 图 3 计算系数及自由项 2 列出力法典型方程 a 7 5力法的计算步骤和示例 两个梯形相乘 可将梯形划分为两个三角形相乘 再令图a与图b中的CdD相图乘 得 将结果相加 得最终图乘结果 令图a与图b中的cdC相图乘 得 7 5力法的计算步骤和示例 计算 ij 由图的与的对称性 有 7 5力法的计算步骤和示例 7 5力法的计算步骤和示例 将 代入式 a 并消去公因子得 4 解方程求未知力 即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力 解得 7 5力法的计算步骤和示例 5 计算杆端弯矩 作出的最后弯矩图 外侧受拉 内侧受拉 内侧受拉 最后弯矩图 弯矩图具有反对称性质 这是由荷载与结构的对称性决定的 7 5力法的计算步骤和示例 例7 3用力法计算图 a 所示排架 作弯矩图 已知 忽略排架顶部拉杆的轴向变形 将拉杆视为刚性杆 解 1 确定超静定次数并选定基本体系 基本体系 2 列出力法方程 7 5力法的计算步骤和示例 3 计算系数及自由项 作MP M1 M2图 注意 11与 22都包括两部分 令M1图左边柱 中间柱的计算结果分别为 由M1图得 7 5力法的。