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第二章 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝2.1 古算明珠——“方程术”与“正负术”v 虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉 ——刘徽    中国古代最重要的数学经典《九章算术》中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前约公元前2世纪世纪)卷卷8的的“方程术方程术”，是解线，是解线性方程组的算法性方程组的算法中国古代数学瑰宝      以该卷第以该卷第1题为例，题为例，《今有上禾三秉，中《今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾实一秉各几何？》上、中、下禾实一秉各几何？》      该问题相当于解一个三元一次方程组：设该问题相当于解一个三元一次方程组：设上、中、下禾一秉实依次是上、中、下禾一秉实依次是x、、y、、z，求解线，求解线性方程组性方程组 中国古代数学瑰宝      《《方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。

中、左禾列如禾一秉，实三十九斗于右方中、左禾列如右方》右方》       按照方程术术文，将此题演算过程表示如按照方程术术文，将此题演算过程表示如下：古代竖为行，横为列，且从左到右，与今下：古代竖为行，横为列，且从左到右，与今天习惯相反天习惯相反中国古代数学瑰宝    《以右行上禾遍乘中行，而以直除》《以右行上禾遍乘中行，而以直除》  以右行上禾系数以右行上禾系数3乘整个中行乘整个中行 然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为数变为0 中国古代数学瑰宝《又乘其次，亦以直除复去左行首》《又乘其次，亦以直除复去左行首》　　以右行上禾系数　　以右行上禾系数3乘整个左行以右行对乘整个左行以右行对减左行，左行上禾系数变为减左行，左行上禾系数变为0 中国古代数学瑰宝《然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除《然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除左方下禾不尽者，上为法，下为实实即下左方下禾不尽者，上为法，下为实实即下禾之实》禾之实》中国古代数学瑰宝　　以中行中禾系数　　以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减乘左行整行，以中行对减左行，四度减，则左行中禾系数亦化为左行，四度减，则左行中禾系数亦化为0，下禾，下禾系数为系数为36，实为，实为99。

下禾系数与实有公因子下禾系数与实有公因子9，，以其约简下禾系数变为以其约简下禾系数变为4，作为法，实为，作为法，实为11，，只是下禾的实只是下禾的实中国古代数学瑰宝《求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实《求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实余，如中禾秉数而一，即中禾之实》余，如中禾秉数而一，即中禾之实》　　为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，　　为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，减去左行下禾的实，在此问中即减去左行下禾的实，在此问中即24×4－－11×1该运算的余数，除以中行中禾的秉数，就是该运算的余数，除以中行中禾的秉数，就是中行的实，仍以左行之法为法此问中即中行的实，仍以左行之法为法此问中即（（24×4－－11×1））÷5＝＝17，以，以4为法中国古代数学瑰宝《求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、《求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实余，如上禾秉数而一，即为上中禾之实余，如上禾秉数而一，即为上禾之实》禾之实》　为了求上禾，以左行之法乘右行下实，　为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。

此问中即中行中禾实乘右行中禾秉数此问中即39×4－－11×1－－17×2该运算的余数，除以该运算的余数，除以右行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行右行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法此问中就是（之法为法此问中就是（39×4－－11×1－－17×2））÷3＝＝27，仍以，仍以4为法中国古代数学瑰宝《实皆如法，各得一斗》《实皆如法，各得一斗》　实除以法，得到上禾　实除以法，得到上禾1秉之实为秉之实为x=9    斗，中斗，中禾禾1秉之实秉之实y=4   斗，下禾斗，下禾1秉之实秉之实z=2   斗中国古代数学瑰宝筹算解线性方程组举例（二）筹算解线性方程组举例（二）“《九章算术》及刘徽注《九章算术》及刘徽注”：：　　　　《今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，《今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百问牛、羊、豕价各几何？百问牛、羊、豕价各几何？　　答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价　　答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百　　术曰：如方程》　　术曰：如方程。

》中国古代数学瑰宝解：设牛、羊、猪单价依次是解：设牛、羊、猪单价依次是x、、y、、z，求，求解线性方程组解线性方程组 得到牛价为得到牛价为x=1200，羊价为，羊价为y=500，豕价为，豕价为z=300 中国古代数学瑰宝      著名的数学著作《九章算术》，大约编于著名的数学著作《九章算术》，大约编于公元四、五十年间的东汉初期这部书是采用公元四、五十年间的东汉初期这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章盈不足、方程和勾股九章 中国古代数学瑰宝     方田章方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；形田等的面积计算；粟米章粟米章讲的是粮食交易讲的是粮食交易的简单比例计算；的简单比例计算；衰分章衰分章讲的是一些按比例讲的是一些按比例分配的问题；分配的问题；少广章少广章讲的是由已知面积和体讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；总结出了开平方和开立方的方法；中国古代数学瑰宝    商功章商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用；讲的是盈亏计算法和它的应用；方程方程章章讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。

元一次联立方程的解法勾股章勾股章叙述了勾方、叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题三角形解法的问题 中国古代数学瑰宝《九章算术》的内容丰富多彩，包括了许多《九章算术》的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角的知识，是一部非算术、几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影响深远  《九章算术》不只在中国数学史上占有十《九章算术》不只在中国数学史上占有十分重要的地位，而且影响远及国外朝鲜和分重要的地位，而且影响远及国外朝鲜和日本都曾经用它作为教科书日本都曾经用它作为教科书中国古代数学瑰宝      欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，入欧洲的在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把把“盈不足盈不足”称为称为“中国算法中国算法”就是一个证明就是一个证明现在，《九章算术》已作为世界科学名著，被现在，《九章算术》已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。

译成许多种文字出版中国古代数学瑰宝正负术 v 正负术是《九章算术》方程章提出的正负数加减法则一则方程术中用直除法消元时会出现以小减大的情形，再则通过损益术列方程，这都会产生负数「正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之」中国古代数学瑰宝前四句是减法法则：前四句是减法法则：若二数同号，则；若二数同号，则；若二数异号，则若二数异号，则若没有与之对减的数，则若没有与之对减的数，则 中国古代数学瑰宝后四句是加法法则：后四句是加法法则：若二数异号，则；若二数异号，则；若二数同号，则，若二数同号，则，若没有与之对加的数，则若没有与之对加的数，则中国古代数学瑰宝     在《九章算术》中，正负术只用于方程术，在《九章算术》中，正负术只用于方程术，并且，在实际上不仅使用了正负数的加减法，并且，在实际上不仅使用了正负数的加减法，而且使用了正负数的乘除法不过，现有资料而且使用了正负数的乘除法不过，现有资料中，正负数的乘法法则在《算学启蒙》中才给中，正负数的乘法法则在《算学启蒙》中才给出祖冲之很可能研究过负系数开方问题，现出祖冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料中讨论负系数开方问题最先出现在北宋存资料中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益的《议古根源》中。

刘益的《议古根源》中中国古代数学瑰宝雀燕集衡雀燕集衡这是《九章算术》方程章的一个题目：这是《九章算术》方程章的一个题目：「今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱「今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，横适平并雀、燕重轻一雀一燕交而处，横适平并雀、燕重一斤问雀、燕一枚各重几何？」一斤问雀、燕一枚各重几何？」设设 x , y 分别为雀、燕一枚重，《九章算术》分别为雀、燕一枚重，《九章算术》的解法是通过损益术列出方程：的解法是通过损益术列出方程： 中国古代数学瑰宝用直除法消元后求出雀一枚用直除法消元后求出雀一枚                两，燕两，燕一枚一枚                 两 刘徽提出了新的解法：两行直接相减得刘徽提出了新的解法：两行直接相减得因此，因此，             任取一行，比如右行，用今任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，便有有术将雀化为燕，便有                           ，，   于是于是                      中国古代数学瑰宝这正是方程新术的基本思想方程新术是在这正是方程新术的基本思想。

方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述的，是刘徽的一项方程章麻麦问中详细阐述的，是刘徽的一项创造中国古代数学瑰宝五家共井五家共井这也是《九章算术》方程章的一个题目：这也是《九章算术》方程章的一个题目：「今「今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠如各得所不足一绠，皆逮问井深、绠长各几如各得所不足一绠，皆逮问井深、绠长各几何？」何？」设设 x , y , z , u , v , w 分别为甲、乙、分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深，丙、丁、戊绠长及井深，6个未知数，依题意个未知数，依题意只可列出只可列出5行方程：行方程：中国古代数学瑰宝  《九章算术》遂以《九章算术》遂以265，，191，，148，，129，，76，，721分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深        这是在中国数学史上第一次明确提出不定这是在中国数学史上第一次明确提出不定方程问题方程问题。

 《九章算术》只是给出了最小的一组正整数解《九章算术》只是给出了最小的一组正整数解中国古代数学瑰宝2.2“韩信点兵韩信点兵”与中国的剩余定理与中国的剩余定理 v从“鬼谷算”的猜岁数游戏谈起v 猜谜语这种民间游戏，在中国有几千年的历史了可是你知道不知道还有一种猜岁数的游戏在一千多年前也曾是中国人民的一种游戏？中国古代数学瑰宝    让我们借想像的羽翼飞到那古老的年代，让我们借想像的羽翼飞到那古老的年代，飞到那位于富庶肥沃的关中平原，那《诗经飞到那位于富庶肥沃的关中平原，那《诗经》所说：》所说：“径以渭蜀径以渭蜀”的径水、渭水流域上的径水、渭水流域上的古城长安长安是个像杜甫的诗歌所描写的古城长安长安是个像杜甫的诗歌所描写的：的：“渔阳豪侠地，击鼓吹笙竽，云帆转辽渔阳豪侠地，击鼓吹笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴越罗与楚练，照耀与台躯海，粳稻来东吴越罗与楚练，照耀与台躯”一个很热闹繁华的城市一个很热闹繁华的城市中国古代数学瑰宝我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走犬而位于大街的酒家，高朋满座斗鸡走犬而位于大街的酒家，高朋满座最热闹的是靠南城门的墙脚地方，只见许多最热闹的是靠南城门的墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高挂上写人围绕在一个竹竿高挂上写“鬼谷神算鬼谷神算”的的布条下。

挤进去看，我们看到一个有仙风道布条下挤进去看，我们看到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说：骨模样的老人对另一位老观众说：“大爷不大爷不需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、三、需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、三、五后的余数是多少，就可以了五后的余数是多少，就可以了中国古代数学瑰宝“用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用五除嘛是余三五除嘛是余三只见算命先生摆弄一下竹筹，只见算命先生摆弄一下竹筹，就说：就说：“大爷今年大爷今年73岁了，有道是人生七十古岁了，有道是人生七十古来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福他算对了，是怎么样算出来呢？他算对了，是怎么样算出来呢？中国古代数学瑰宝同余的概念同余的概念v首先让我介绍德国数学家高斯在首先让我介绍德国数学家高斯在200年前想出年前想出的一个数学上很重要的概念：的一个数学上很重要的概念：“同余同余” .v给定一个正整数给定一个正整数n，我们说两个数，我们说两个数a、、b是对模是对模n同余，如果同余，如果a－－b是是n的倍数用符号的倍数用符号a≡b（（mod n）来表示。

来表示中国古代数学瑰宝v比方说：比方说：7，，4，是对模，是对模3同余，因为同余，因为7－－4=3v16，，52是对模是对模6同余，因为同余，因为16－－52=－－36＝＝6×（－（－6）v23，，13是对模是对模2，模，模5同余，因为同余，因为23－－13＝＝10=2×5.v写成数学式子是写成数学式子是7≡4（（mod 3），），16≡52（（mod 6），），23≡13（（mod 2）或）或 23≡13（（mod 5））中国古代数学瑰宝      我们现在令我们现在令Z表示所有的整数集合，给定一表示所有的整数集合，给定一个正整数个正整数n，我们看同余，我们看同余≡究竟有什么性质？究竟有什么性质？     首先，对于任何整数首先，对于任何整数a ，我们恒有，我们恒有a≡a（（mod n））因为因为a－－a＝＝0＝＝0×n，以上的性质就是，以上的性质就是“同余具同余具有有自反性自反性     其次，如果其次，如果a≡b（（mod n），则一定有），则一定有b≡a（（mod n））因为由因为由a≡b（（mod n），我们得），我们得a－－b=n×k，，k是是一个整数，一个整数，中国古代数学瑰宝    因此因此b－－a=－（－（a－－b）＝）＝n×（－（－k），即），即b≡a（（modn）。

我们说）我们说“同余具有同余具有对称性对称性”    另外如果有另外如果有a≡b（（mod n），），b≡c（（mod n），），     则我们可以得到则我们可以得到a≡c（（mod n）     这就是这就是“同余具有同余具有传递性传递性中国古代数学瑰宝让我们看看下面的例子：让我们看看下面的例子：例例1．取．取n＝＝2，则我们把整数分成偶数或奇数，，则我们把整数分成偶数或奇数，就是就是……[0]2={0，，±2，，±4，，±6，，…±2k，，…}包含所有包含所有偶数[1]2={±1，，±3，，…±（（2k+1)，，…}包含所有的包含所有的奇数中国古代数学瑰宝例例2 . 取取n＝＝3，则，则[0]3={…，－，－9，－，－6，－，－3，，0，，3，，6，，9，，…}[1]3={…，－，－8，－，－5，－，－2，，1，，4，，7，，10，，…}[2]3={…，－，－7，－，－4，－，－1，，2，，5，，8，，11，，…}现在让我问一个问题：现在让我问一个问题：“什么数被什么数被2除余除余1？？”我想你一定会回答：是所有的奇数，奇数一般我想你一定会回答：是所有的奇数，奇数一般可以用可以用2k＋＋1来表示来表示k＝＝0，，±1，，±2，，…。

这就这就是在是在[1]2的数中国古代数学瑰宝现在让我再问一个问题：现在让我再问一个问题：“什么数被什么数被3除余除余2？？”我想你一定会回答：所有形如我想你一定会回答：所有形如3k＋＋2的数，这的数，这里里k可以等于可以等于0，，±1，，±2，，…，这就是在，这就是在[2]3里里的数这两个问题都是很容易现在让我们把这两这两个问题都是很容易现在让我们把这两个问题合成一个问题：个问题合成一个问题：“什么数被什么数被2除余除余1，，被被3除余除余2？？”中国古代数学瑰宝      这里你就必须在这里你就必须在[2]3里找所有的奇数，即里找所有的奇数，即－－7，－，－1，，5，，11，，…等等如果你学过初等等如果你学过初等集合论，你就是要找交集等集合论，你就是要找交集[1]2∩[2]3的所有元的所有元素      而这些所有的数可以写成形如而这些所有的数可以写成形如6k－－1k=0，，±1，，±2，，…））    因为因为6k－－1≡1（（mod 2））,6k－－1≡2（（mod 3））以上的问题写成数学式子就是：以上的问题写成数学式子就是：“寻找寻找x，使得，使得x≡1（（mod 2），），x≡2（（mod 3）。

而答案是：所有形如而答案是：所有形如6k－－1的数中国古代数学瑰宝中国古算书的一个问题中国古算书的一个问题    在成书差不多在成书差不多4世纪时的一本中国最古老的世纪时的一本中国最古老的数学书之一数学书之一——《孙子算经》里的下卷第《孙子算经》里的下卷第26题，是一个闻名世界的数学问题这问题有题，是一个闻名世界的数学问题这问题有人称它为人称它为“孙子问题孙子问题”现在我们看这问题：现在我们看这问题：“今有物不知其数，三今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？问物几何？”中国古代数学瑰宝这问题翻译成现在的白话是：这问题翻译成现在的白话是：“现在有一些现在有一些东西不知道它们的个数，三个三个一组剩下东西不知道它们的个数，三个三个一组剩下2个，五个五个一组剩下个，五个五个一组剩下3个，七个七个一组剩个，七个七个一组剩下下2个，问这些东西有多少？个，问这些东西有多少？”    我们把这个问题再翻译成数学问题，就变成：我们把这个问题再翻译成数学问题，就变成：“寻找寻找x，使得，使得x≡2（（mod 3），），x≡3（（mod 5），），x≡2（（mod 7）。

中国古代数学瑰宝     你只要懂得你只要懂得[2]3，，[3]5，，[2]7就在里面找那就在里面找那些数同时在这三个集合里就行了因此由些数同时在这三个集合里就行了因此由[2]3={…，－，－1，，2，，5，，8，，11，，14，，17，，20，，23，，26，，29，，…}[3]5={…，－，－2，，3，，8，，13，，18，，23，，28，，33，，38，，43，，47，，…}[2]7={…，－，－5，，2，，9，，16，，23，，30，，37，，44，，51，，58，，63，，…}我们很容易看到最小的正整数答案是我们很容易看到最小的正整数答案是23中国古代数学瑰宝     这和《孙子算经》的答案：这和《孙子算经》的答案：“答曰：二十答曰：二十三三”是符合的是符合的     《孙子算经》还给出解这题的方法：《孙子算经》还给出解这题的方法：      “术曰：三三数之剩二，置一百四十；五术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百十一减三十；并之，得二百三十三，以二百十一减之即得而书中接下来就给这一类问题的一般解法：而书中接下来就给这一类问题的一般解法：中国古代数学瑰宝     “凡三三数之剩一，则置七十；五五数之凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百五减之即得。

五；一百六以上，以一百五减之即得       这些解法的叙述，相信许多读者第一次这些解法的叙述，相信许多读者第一次看会觉得莫名其妙，究竟这是在说什么东西看会觉得莫名其妙，究竟这是在说什么东西？我们现在研究一下我们现在研究一下中国古代数学瑰宝《孙子算经》的解法《孙子算经》的解法现在假定现在假定“孙子问题孙子问题”一般的情形：求一般的情形：求x使得使得x≡r1（（mod 3））                 0≤r1＜＜3x≡r2（（mod 5））                 0≤r2＜＜5      （（I））x≡r3（（mod 7））                 0≤r3＜＜7由于模由于模3，，5，，7是两两互素，所以它们的最小是两两互素，所以它们的最小公倍数公倍数=3×5×7＝＝3×35=5×21 =7×15＝＝105 中国古代数学瑰宝因为因为  35×2≡1（（mod 3））21×1≡1（（mod 5））15×1≡1（（mod 7））因此由同余的可乘性我们得因此由同余的可乘性我们得于是我们有于是我们有70r1＋＋21r2＋＋15r3≡70r1≡r1（（mod 3））70r1+21r2＋＋15r3≡21r2≡r2（（mod 5））70r1+21r2＋＋15r3≡15r3≡r3（（mod 7））中国古代数学瑰宝因此同余式组（因此同余式组（I）的解是满足下面同余式组）的解是满足下面同余式组的整数值的整数值x：：x≡70r1＋＋21r2＋＋15r3（（mod 3））x≡70r1＋＋21r2＋＋15r3（（mod 5））           （（Ⅱ））x≡70r1＋＋21r2＋＋15r3（（mod 7））由于由于x－－(70r1＋＋21r2＋＋15r3)是是3，，5，，7的倍数，的倍数，它也会是它也会是(3，，5，，7)的最小公倍数的最小公倍数105的倍数。

的倍数中国古代数学瑰宝故（故（Ⅱ）的解同样是和）的解同样是和x≡70r1＋＋21r2＋＋15r3（（mod 105）一样现在回过头看现在回过头看“孙子问题孙子问题”，，r1=2，，r2=3，，r3=2由算经的前半段解法是这样：由算经的前半段解法是这样：x=70×2＋＋21×3＋＋15×2－－2×105＝＝23在古代中国人民有猜岁数，在古代中国人民有猜岁数，“隔壁算隔壁算”、、“剪管术剪管术”、、“秦王暗点兵秦王暗点兵”等数学游戏，就等数学游戏，就是属于是属于“孙子问题孙子问题”的范畴和解法的范畴和解法中国古代数学瑰宝    明朝程大位在明朝程大位在1583年写的一部后来流传很年写的一部后来流传很广的应用数学书《直指算法统宗》就有一首广的应用数学书《直指算法统宗》就有一首孙子歌：孙子歌：“三人同行七十稀，五树梅花甘一三人同行七十稀，五树梅花甘一枝；七子团员正半月，除百零五便得知枝；七子团员正半月，除百零五便得知就在诗歌中点明解孙子问题所用到的一些数就在诗歌中点明解孙子问题所用到的一些数字中国古代数学瑰宝中国剩余定理中国剩余定理以上的孙子问题解法可以推广为：以上的孙子问题解法可以推广为：如果有同余式组：如果有同余式组：x≡r1（（mod n1））x≡r2（（mod n2））x≡r3（（mod n3））这里这里0≤r1＜＜n1，，0≤r2＜＜n2，，0≤r3＜＜u3，而且，而且n1，，n2，，n3是两两互素，是两两互素，中国古代数学瑰宝即即GCD（（n1，，n2）＝）＝GCD（（n1, n3））=GCD（（n2，，n3））=1。

如果能找到整数如果能找到整数α，，β，，γ满足下面三式：满足下面三式：αn2n3≡1（（mod n1））βn1n3≡1（（mod n2））γn2n1≡1（（mod n3））那么那么x≡αn2n3r1+βn1n3r2+rn2n1r3(modn1n2n3)是是原同余式组的解原同余式组的解中国古代数学瑰宝     迟于中国人，古代的印度数学家也考虑类迟于中国人，古代的印度数学家也考虑类似似“孙子问题孙子问题”，欧洲在，欧洲在1202年出的意大利年出的意大利数学家斐波那契的《算法之书》才有两个一数学家斐波那契的《算法之书》才有两个一次同余问题而上面的推广，欧洲人要到次同余问题而上面的推广，欧洲人要到18世纪才被欧拉重新发现因此欧洲数学家后世纪才被欧拉重新发现因此欧洲数学家后来把这定理称为《中国剩余定理》，而不是来把这定理称为《中国剩余定理》，而不是“欧拉定理欧拉定理”以纪念中国数学家在这方面的以纪念中国数学家在这方面的成就中国古代数学瑰宝例例1  找一个最小的正整数被找一个最小的正整数被3除余除余2，被，被4除余除余3[解解]我们现在要解同余式组：我们现在要解同余式组：    x≡2（（mod 3），）， x≡3（（mod 4））     先找那些先找那些4的倍数被的倍数被3除余除余1。

从从8，，12，，16，，20，，…我们看到最小的是我们看到最小的是16     再找再找3的倍数被的倍数被4除余除余1从9，，12，，15，，…我们试到最小的是我们试到最小的是9   即即4×4≡1（（mod 3），），3×3≡1（（mod 4））中国古代数学瑰宝所以由中国剩余定理我们知道所以由中国剩余定理我们知道x≡16×2+9×3=59（（mod 12））因此最小的整数是因此最小的整数是59－－4×12=11例例2  让我们回到这篇文章前那个算命先生的玩让我们回到这篇文章前那个算命先生的玩意儿算命先生要解意儿算命先生要解x≡1（（mod 2），），x≡1（（mod 3），），x≡3（（mod 5）明显的明显的3×5×1≡1（（mod 2））2×5×1≡1（（mod 3））2×3×1≡1（（mod 5））中国古代数学瑰宝所以由中国剩余定理可得所以由中国剩余定理可得   x≡15+10+6×3=43（（mod 30），），   或或x≡13（（mod 30），），   所以一般岁数公式是所以一般岁数公式是x=30k+13如果如果k=1，则，则x=30+13=43，，这不会是老头子的年龄。

因此取这不会是老头子的年龄因此取k=2，则，则x=60+13=73，就是老头子的岁数就是老头子的岁数中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝。